Gibt es ein nichttriviales Problem in der Theorie der seriellen Algorithmen mit einer nichttrivialen Polynomuntergrenze von


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In der Theorie der verteilten Algorithmen gibt es Probleme mit Untergrenzen wie Ω(n2) , die "groß" (ich meine größer als ) und nicht trivial sind. Ich frage mich, ob es Probleme mit ähnlichen Grenzen in der Theorie des seriellen Algorithmus gibt. Ich meine, die Ordnung ist viel größer als .Ω(nlogn)Ω(nlogn)

Mit trivial meine ich "erhalten, nur wenn man bedenkt, dass wir die gesamte Eingabe lesen müssen" und ähnlich.


Fragen Sie nach Untergrenzen für Probleme oder nach Untergrenzen für bestimmte Algorithmen?
A.Schulz

@ A.Schulz Ich bitte um Untergrenzen für Probleme.
Immanuel Weihnachten

@ RealzSlaw, richtig, ich habe die Frage bearbeitet, jetzt mit der Standardannahme, dass die Größe der Eingabe ist; Ich habe auch angegeben, dass ich mit zentralisiert "seriell" meinte, wie ich hier gelernt habe en.wikipedia.org/wiki/Algorithm#By_implementationn
Immanuel Weihnachten

Interessanterweise wird solchen Klassen nicht viel Aufmerksamkeit geschenkt - so wie es mit dem Sortierproblem gemacht wurde. Die Matrixmultiplikation ist . Das Problem mit dem kürzesten Weg ist Ω ( n 2 ) - was Sie wahrscheinlich bereits kennen. Aber gibt es eine Klasse für diese Algorithmen? Ich weiß es wirklich nicht. Die Ähnlichkeit zwischen diesen Problemen besteht darin, dass jede Eingabe (unter den n ) mit jeder anderen Eingabe eine Aktion ausführen muss. Eine solche Aktion beträgt mindestens Ω ( 1 ) . Ω(n2)Ω(n2)nΩ(1)
AJed

@ RealzSlaw: Ich stimme dir zu. In meiner Antwort fehlten einige Details. Aber du verstehst was ich sagen will.
AJed

Antworten:


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Es gibt solche Probleme nach dem Zeithierarchiesatz. Nehmen Sie einfach jedes Problem, das für eine große Komplexitätsklasse vollständig ist. Nehmen Sie zum Beispiel ein Problem, das für ExpTime vollständig ist . Ein solches Problem wird sein , für alle c N .Ω(nc)cN

Beachten Sie jedoch auch, dass es für Probleme in keine starken Zeituntergrenzen im Mehrband-TM-Modell gibt und die Existenz linearer Zeitalgorithmen für SAT mit dem aktuellen Wissensstand übereinstimmt. (Im Single-Tape-TM-Modell ist es nicht schwierig zu zeigen, dass viele Probleme wie Palindrome Ω ( n 2 ) -Zeit erfordern, aber solche Untergrenzen hängen im Wesentlichen von den Einzelheiten des Single-Tape-TM-Modells ab.)NPΩ(n2)


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Einige einfache Probleme, deren Untergrenzen größer als die Größe ihrer Eingaben sind, sind Algorithmen, deren Ausgabegrößen größer als ihre Eingabegrößen sind.

Einige Beispiele:

  • Das Problem der Auflistung aller Lösungen für 3-SAT oder ähnlich das Problem der Auflistung aller Hamilton-Zyklen . Diese Probleme haben im schlimmsten Fall eine exponentielle Anzahl von Lösungen. Sie haben also eine Untergrenze von . Interessanterweise hat das 3-SAT-Problem selbst keine bekannten superlinearen (größer als Ω ( n ) ) Grenzen! Das heißt, wir wissen nicht, ob es schwieriger als linear ist!Ω(cn),c>1Ω(n)
  • Sie können sogar neue Algorithmen wie diesen erstellen: "Vervollständigen eines Graphen", dh , wobei E = und n = | V | Der Algorithmus gibt einen Graphen G ' = V , E ' aus , wobei E ' = { u , v | u v u , v V } .G=V,EE=n=|V|G=V,EE={u,v|uv  u,vV}

Darüber hinaus können Sie möglicherweise ein Problem mit Ausgängen in der Größe von zusammenstellen, wobei ein Problem darin besteht, dass Ω ( n 2 ) als Eingang verwendet wird und Ausgänge in der Größe von Ω ( n ) oder sogar Ω ( 1 ) ausgegeben werden ( beispielsweise , dass etwas zählt die Anzahl Ausgänge) , ein Problem zu erhalten, nimmt Ω ( n ) -sized Eingabe und gibt Ω ( n ) -sized Ausgang, und doch hat eine Laufzeit von mehr als Ω ( n )Ω(n2)Ω(n2)Ω(n)Ω(1)Ω(n)Ω(n)Ω(n). Es kann jedoch sehr schwierig sein zu beweisen (dass es keine Abkürzung gibt, um die Antwort in kürzerer Zeit zu erhalten).


Eine andere Möglichkeit, wie einige Probleme Untergrenzen kennen, besteht darin, das Berechnungsmodell einzuschränken.

Obwohl die Untergrenze der Vergleichssorte nicht überschreitet , denke ich, dass es sich lohnt, darüber zu diskutieren. Die Vergleichssortierung ist auch ein Problem, das eine größere Untergrenze als die Eingangsgröße aufweist, deren Untergrenze jedoch Ω ( n log n ) und in nicht überschreitet . Als ich dies untersuchte, fand ich jedoch diese Frage zum Mathoverflow: Superlineare Zeitkomplexitätsuntergrenzen für jedes natürliche Problem in NP . Weitere in der Antwort aufgeführte Beispiele liegen weit unter Ω ( n log n )Ω(nlogn)Ω(nlogn)Ω(nlogn). Ich denke, das Wesentliche ist, wenn Sie das Berechnungsmodell einschränken, können Sie Untergrenzen für Probleme erhalten, für die wir sie sonst nicht haben. Und wenn Sie das Berechnungsmodell nicht einschränken, ist es sehr schwierig, Untergrenzen für Probleme zu beweisen.


Es gibt etwas, das ich nicht verstehe. Eine lange Multiplikation kann laut Wikipedia mit weniger als O (n ^ 2) durchgeführt werden? Daher ist n zu einer Untergrenze. Ω(n2)
AJed

Die Matrixmultiplikation kann mit und diese Grenze wurde verbessert. Eine natürliche Untergrenze ist jedoch Ω ( n 2 ) . O(n2.8)Ω(n2)
AJed

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@AJed es ist keine Untergrenze für das Problem , aber es ist eine Untergrenze für den Algorithmus .
Realz Slaw

Und jetzt hat er seine Frage bearbeitet, um "Problem" anstelle von Algorithmus anzusprechen.
Realz Slaw

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@ RealzSlaw Ich entschuldige mich dafür, dass der Text meiner Frage am Anfang nicht genau genug ist.
Immanuel Weihnachten
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