Boolesche Variable true iff Gleichung ist in ILP erfüllt

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Unter der Annahme , $y$ ist eine Boolesche Variable in einem Programm ILP (dh , st ) und , begrenzt ist ganzzahlige Variablen zwischen und . Ich möchte die folgende Einschränkung auf hoher Ebene codieren: $y \in Z$ $0 <= y <= 1$ $x_1$ $x_2$ $0$ $M$

y = 1 ⟺ x_{1} \leq x_{2}

$y = 1 \iff x_1 \le x_2$

Bisher habe ich folgendes:

x_{1} \leq x_{2} + (M + 1) y

$x_1 \le x_2 + (M+1)y$

Dies erzwingt, dass immer dann muss , wenn wahr ist, sonst gilt die Gleichung nicht. Wenn jedoch ist, schränkt nichts und könnte daher entweder oder . $x_1 > x_2$ $y$ $1$ $x_1 \le x_2$ $y$ $0$ $1$

Welche andere Gleichung könnte ich hinzufügen, um die Einschränkung zu codieren?

integer-programming

— Setzer22
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cs.stackexchange.com/q/104990/755

— DW

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Sie können dies tun, indem Sie die beiden Ungleichungen einführen

x_{1} \leq x_{2} + M (1 - y)

$x_1 \le x_2 + M (1-y)$

und

x_{1} > x_{2} - M y .

$x_1 > x_2 - M y.$

Ersteres codiert die Anforderung (Sie können sehen, dass wenn , der Term verschwindet; wenn , dann wird etwas Großes und die Ungleichung wird automatisch erfüllt). Letzteres codiert die Anforderung (aus ähnlichen Gründen). $y=1 \implies x_1 \le x_2$ $y=1$ $M(1-y)$ $y=0$ $M(1-y)$ $y=0 \implies x_1 > x_2$

Hoffentlich gibt Ihnen dies eine Vorstellung davon, wie Sie mit anderen Arten von Implikationen umgehen können, falls sie auftreten sollten. Grundsätzlich multiplizieren Sie mit etwas Großem und addieren / subtrahieren Sie es irgendwo.

— DW
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Sie können eine Konstante hinzufügen und dann diese Einschränkung hinzufügen: $0<A<M$

A - y (A + M) ⩽ x_{1} - x_{2} ⩽ M (1 - y) .

$A-y(A+M)\leqslant x_1-x_2\leqslant M(1-y).$

Wenn ist, bleiben Sie mit $y=1$

- M ⩽ x_{1} - x_{2} ⩽ 0,

$-M\leqslant x_1-x_2\leqslant 0,$ was besagt, dass .

x_{1} ⩽ x_{2}

$x_1\leqslant x_2$

Und wenn ist, bleiben Sie mit $y=0$

A ⩽ x_{1} - x_{2} ⩽ M,

$A\leqslant x_1-x_2\leqslant M,$ das besagt, dass (da ).

x_{1} > x_{2}

$x_1>x_2$

0 < A < M

$0<A<M$

— Ribz
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Untersuchen Sie Indikator- und SOS-Einschränkungen. Während Sie die Zielbeziehungen linear definieren können, wie in anderen Antworten erläutert, können spezielle Einschränkungen vom IP-Solver effizienter behandelt werden.

Wenn Sie die Einschränkungen direkt implementieren möchten, wie in der anderen Antwort beschrieben, versuchen Sie, das kleinstmögliche M zu verwenden, und ziehen Sie in Betracht, die Integritätstoleranz zu verringern, wenn Ihr Ergebnis nicht korrekt ist. Vermeiden Sie außerdem strenge Ungleichungen, da diese im Kontext der Gleitkomma-Arithmetik nicht eindeutig sind.

Verwenden von Indikatoreinschränkungen:

$x_1\le x_2 \leftarrow y=1$

$x_2\ge x_1 +1\leftarrow y=0$

Die zweite Einschränkung entspricht für ganze Zahlen. Wenn Sie möchten, lassen Sie einfach die 1 fallen. $x_2>x_1$ $x_2\ge x_1$

— Septimus G.
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Danke für die hilfreichen Vorschläge! Können Sie erläutern, wie hilfreich / nützlich SOS-Einschränkungen in dieser speziellen Situation sind?

— DW

Ich habe ein Beispiel mit Indikatorbeschränkungen hinzugefügt. Für SOS ist es komplizierter und Sie müssen zusätzliche Variablen einführen, sodass Sie möglicherweise nicht viel gewinnen, wenn Sie sie verwenden. Ich denke, der einzige Aspekt, bei dem man vorsichtig sein muss, sind die numerischen Probleme, die bei Verwendung der von anderen vorgeschlagenen Formulierungen auftreten können, und wie man sie lindert. Wenn Sie Zugriff auf einen Solver mit Indikatorbeschränkungen haben, versuchen Sie es auf diese Weise, da der Solver direkt darauf verzweigen oder den Big-M-Wert dynamisch ändern kann.

— Septimus G