Folge von Problemen, die zur Erhöhung von ?

Kennen wir eine unendliche Folge von Entscheidungsproblemen, bei denen der effizienteste Algorithmus für jedes Problem Zeit benötigt, wobei unbegrenzt zunimmt?$\Theta(n^k)$$k$

Nehmen wir zum Beispiel an, wir würden wissen, dass das Finden einer k-Clique , dann könnte diese Sequenz {1-Clique, 2-Clique, 3-Clique, ...} sein. Möglicherweise gibt es jedoch effizientere Algorithmen für die k-Clique, sodass diese Antwort falsch ist.$\Theta(n^k)$

BEARBEITEN:

• Nach dem Zeithierarchiesatz (der enthält, dass "P für kein festes zu DTIME ( ) kollabiert ") sollte eine solche Sequenz existieren.$n^k$$k$
• Nach einigen Diskussionen in den Kommentaren sind häufige NP-Probleme keine guten Kandidaten. Wenn es nur Zeit braucht , um ein Zertifikat zu überprüfen (oder , wobei eine von unabhängige Konstante ist ), würde dies bedeuten, dass$O(n)$$O(n^c)$$c$$k$$P\neq NP$

Sie lassen das Rechenmodell offen. Ich gehe davon aus, dass sich die Frage auf Direktzugriffsmaschinen (RAMs) bezieht, wie es üblich ist, wenn man nach dem tatsächlichen Exponenten in Polynomzeit fragt.

Sei die Menge von (Codierungen von) RAMs , so dass in höchstens Schritten anhält, wobei höchstens die anfänglichen Speicherzellen verwendet werden. Ein universeller RAM kann in lösen .$P_k$$M$$M$$|M|^k$$|M|^k$$P_k$$O(n^k)$

Andererseits ist das universelle Problem für (im RAM-Modell und unter linearen Zeitreduzierungen). Als Sonderfall der RAM-Version des Zeithierarchiesatzes zeigt eine einfache Diagonalisierung, dass alle Algorithmen für die Laufzeit . So ist die Komplexität der ist als gefragt.$P_k$$DTIME(n^k)$$P_k$$\Omega(n^k)$$P_k$$\Theta(n^k)$

Die Dichtheit hängt stark vom Rechenmodell ab. Die Turing-Maschinenversion des Zeithierarchiesatzes weist eine Lücke auf. Sei die Menge von (Codierungen von) Turing-Maschinen , so dass höchstens in Schritten anhält . Dann kann in Zeit von einer universellen Turingmaschine gelöst werden und alle Algorithmen haben die Laufzeit . Ich vermute, das ist das Beste, was man tun kann.$\log n$$P'_k$$M$$M$$\frac{|M|^k}{\log n}$$P'_k$$n^k$$\Omega(\frac{n^k}{\log n})$

[BEARBEITEN]

In einem Kommentar fragen Sie nach konventionelleren Problemen wie Grafikproblemen oder Logik.

Lassen Sie mich zunächst darauf hinweisen, dass Clique (wie in der Antwort vorgeschlagen) kein guter Kandidat zu sein scheint. Wenn wir beweisen könnten, dass Clique Zeit (oder für ein unbegrenztes ) benötigt, haben wir impliziert, dass Clique nicht in P ist. Und damit das P unterscheidet sich von NP. Das dürfte nicht einfach sein. Das Gleiche gilt für Teile anderer Probleme, von denen wir wissen, dass sie in NP oder in anderen Klassen wie PSPACE vorliegen, von denen nicht bekannt ist, dass sie sich von P unterscheiden.$k$$k$$\Omega(n^k)$$\Omega(n^{f(k)})$$f$

Jedes Problem kann als Diagrammproblem umformuliert werden, indem die Eingabe als Diagramm codiert wird. Ich weiß nicht, ob Sie eine Graph-Version von konventionell bezeichnen würden. Ich würde es nicht natürlich nennen.$P_k$

Was die Logik betrifft, kann ich ein Beispiel geben. Es ist jedoch keine boolesche Logik, und es gibt eine Lücke zwischen der unteren und der oberen Grenze. Das Beispiel basiert auf dem Immerman-Vardi-Theorem. Sei eine Logik erster Ordnung, die durch Operatoren mit kleinsten Festpunkten erweitert wird. Lassen bezeichnen das Fragment , in dem nur erster Ordnung Variablen erlaubt sind. Es ist zulässig, Variablen wiederzuverwenden, daher besteht die Einschränkung darin, dass jede Unterformel höchstens freie Variablen enthält. Das Problem ist das Problem der Modellprüfung für , bei Eingabe einer Formel und einer Struktur$\mathcal L$${\mathcal L}^k$$k$$k$$M_k$${\mathcal L}^k$$\varphi\in{\mathcal L}^k$$\mathfrak A$Bei übereinstimmendem Vokabular besteht die Aufgabe darin, zu entscheiden, ob , ob in wahr ist .$\mathfrak A\models\varphi$$\varphi$$\mathfrak A$

$M_k$ kann in der Zeit gelöst werden . Auf der anderen Seite, für eine Konstante , ist schwer für (wo wir auch ein benötigen auf den Inhalt von Speicherzellen , gebunden ist ). Ich glaube, reicht aus. Aus der Diagonalisierung erhalten wir, dass Zeit , also benötigt Zeit . Die Grenze ist für einige nicht eng im Sinne von , aber zumindest haben wir .$O(n^{2k+1})$$c$$M_{3k+c}$$DTIME(n^k)$$n^k$$c=2$$M_{3k+c}$$\Omega(n^k)$$M_k$$\Omega(n^{\frac{k-c}3})$$\Theta(n^{k'})$$k'$$n^{\Theta(k)}$