Gibt es ein NP-vollständiges Problem, so dass die Entscheidungsversion des Zählproblems nicht PP-vollständig ist?

Sobald wir einen polynomialzeitdeterministischen Prüfer V (Eingabe, Zertifikat) festgelegt haben, ist das entsprechende NP-Problem die Frage: Existiert für diese Eingabe ein Zertifikat (Polynomgröße), sodass V (Eingabe, Zertifikat) True zurückgibt?

Das damit verbundene Zählproblem (Klasse #P) ist: Wie viele Zertifikate sind vorhanden, sodass V (Eingabe, Zertifikat) True zurückgibt?

#P ist keine Klasse für "Entscheidungsprobleme", sondern eine Klasse für Zählprobleme. Die nächstgelegene traditionelle Klasse "Entscheidungsprobleme" ist PP, die Probleme der Form hat: Führen die meisten Zertifikate dazu, dass V (Eingabe, Zertifikat) True zurückgibt?

Ich interessiere mich für die Entscheidungsversion des Zählproblems, das mit einem bestimmten NP-vollständigen Problem + Verifizierer verbunden ist. Dies wäre: Angesichts der Eingabeinstanz und einer positiven Ganzzahl K: Gibt es mindestens K verschiedene Zertifikate, so dass V (Eingabe, Zertifikat) gibt True zurück?

Dieses Entscheidungsproblem entspricht eindeutig der Zählversion (über eine binäre Suche). Wenn ich mich nicht irre, ist die Klasse all dieser "Entscheidungsversionen der mit NP-Problemen verbundenen Zählprobleme" genau so schwer wie PP, da:

1) Jedes dieser "Zählentscheidungs" -Probleme kann als ein anderes Mehrheitsproblem definiert werden, indem eine Ad-hoc-Überprüfungsdefinition gewählt wird, bei der viele Zertifikate manuell als wahr oder falsch angesehen werden, sodass mindestens K wahre Zertifikate vorhanden sind im Original genau dann, wenn die Mehrheit in dem resultierenden Problem wahr ist. Nur als einfaches Beispiel zur Veranschaulichung der Reduktionsidee: Wenn es 8 mögliche Zertifikate gibt und wir wissen möchten, ob es mindestens 3 echte Zertifikate gibt, könnten wir einen anderen Prüfer mit 11 möglichen Zertifikaten vorschlagen: für die 8 ursprünglichen Zertifikate nur prüft normal und für die anderen drei wird sofort True zurückgegeben, ohne auf die Eingabe zu schauen. Da die Mehrheit von 11 6 ist, akzeptiert dieser neue Prüfer die Mehrheit der Zertifikate genau dann, wenn der ursprüngliche mindestens 3 akzeptiert.

Somit sind alle diese Probleme in PP.

2) Die entsprechende "Zählentscheidungs" -Version für jedes PP-vollständige Problem ist offensichtlich PP-schwer, da das Lösen des ursprünglichen Mehrheitsproblems einfach das Lösen der Problem. Somit sind solche Probleme PP-vollständig.$(input, \left \lfloor \frac{ totalCertificates}{2} \right \rfloor + 1)$

Nun kann ich endlich meine Frage klar formulieren, die eine "ausgefeiltere Version" derselben Idee ist, die in MAX, MAJ-Varianten von NP-Komplettproblemen gezeigt wird :

Gibt es ein NP-vollständiges Problem, so dass die Entscheidungsversion des Zählproblems (in PP) nicht PP-vollständig ist?

Im Fall von Teilmengen-Summe wäre das zugehörige Entscheidungsproblem, an dem ich interessiert bin, beispielsweise: Gibt es mindestens K nicht leere Teilmengen der Nullsumme?

Da K frei ist und nicht auf die Hälfte der Zertifikate beschränkt ist, trifft das Argument der anderen Antwort nicht zu.

Wenn Sie Ihre Frage genauer formulieren, fragen Sie, ob der folgende Anspruch zutrifft:

$* \hspace{1mm} R(x,y) \text{ is an NP-complete relation}\Rightarrow count_R \text{ is PP-complete}$

Wobei wie folgt definiert ist:$count_R$

$count_R=\left\{(x,k) \big| \hspace{1mm} \left\lvert\left\{y : R(x,y)\right\}\right\rvert\ge k\right\}$ .

Wir nennen eine Beziehung NP-vollständig, wenn sie in Polynomzeit berechenbar ist und die Sprache, die sie definiert, ist NP-vollständig.$R(x,y)$$L_R=\left\{x | \exists y \hspace{1mm} R(x,y)=1\right\}$

Wir sprechen in Bezug auf Beziehungen, da, wie Sie erwähnt haben, die Zählversion relativ zu einem bestimmten Prüfer definiert werden muss.

Es scheint, dass dies eine offene Frage ist, wie (*) impliziert:

$** \hspace{1mm} R(x,y) \text{ is an NP-complete relation}\Rightarrow \#R\text{ is #P-complete}$

Wobei .$\#R(x)=\left\lvert \left\{y : R(x,y)\right\} \right\rvert$

Um zu sehen, warum * das Obige impliziert, sei eine NP-vollständige Beziehung. Mit (*) ist PP vollständig, also . In diesem Fall und somit ist -komplette (Verwendung binäre Suche, wo in jedem Cutoff Sie die Reduktion von anwenden , zu und das Orakel nach dem Ergebnis abzufragen ).$R(x,y)$$count_R$$count_{\text{SAT}}\le_p count_R$$\#SAT\in\mathsf{FP}^{\# R}$$\#R$$\# P$$count_{\text{SAT}}$$count_R$$\#R$

Meines Wissens ist (**) derzeit geöffnet. Siehe diese verwandte Frage aus der Theorie. Auch verwandt .