Warum impliziert A, dass B wahr ist, wenn A falsch und B falsch ist?

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Es scheint mir, dass das "impliziert" in englischer Sprache nicht dasselbe bedeutet wie der logische Operator "impliziert", auf ähnliche Weise, wie "ODER" in den meisten Fällen "exklusives ODER" in unserem alltäglichen Sprachgebrauch bedeutet.

Nehmen wir zwei Beispiele:

Wenn heute Montag ist, ist morgen Dienstag.

Das ist wahr .

Aber wenn wir sagen:

Wenn die Sonne grün ist, ist das Gras grün.

Dies gilt auch als wahr. Warum? Was ist die "Logik" in natürlichem Englisch dahinter? Es haut mich um.

— yoyo_fun
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Weil es bei der Implikation um Wahrheitsbewahrung geht . Wenn

A

$A$ falsch ist, gibt es keine Wahrheit, die bewahrt werden muss.

— Rodrigo de Azevedo

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Boolesche Logik hat nichts mit der englischen Sprache zu tun.

— Yuval Filmus

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Bereits auf Math Stack Exchange in diesem Thread und anderen verwandten behandelt: math.stackexchange.com/questions/48161/…

— Nayuki

7

Diese Philosophie-Stapel-Austausch-Auseinandersetzung mit der Frage ist auch relevant: Warum werden Bedingungen mit falschen Antezedenzen als wahr angesehen?

— Duplode

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@ MHH ah, richtig. "Wenn x> 5, dann x> 3" ist nicht leer wahr, "Wenn 2> 5, dann 2> 3" ist eine wahre Implikation (falsche Voraussetzung), aber nicht leer, da keine leere Menge beteiligt ist.

— eques

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Menschen sind schlecht in der Logik, bis sie sie einsetzen müssen, um menschliche Angelegenheiten herauszufinden. Stellen Sie sich " wenn dann $A$ $B$ " als eine Art Versprechen vor: "Ich verspreche Ihnen, dass ich werde , wenn Sie machen. " Ein solches Versprechen sagt nichts über das, was ich tun könnte , wenn Sie nicht tun . In der Tat könnte ich sowieso, und das würde nicht mir einen Lügner machen. $A$ $B$ $A$ $B$

Angenommen, deine Mutter sagt dir:

Wenn Sie Ihr Zimmer aufräumen, mache ich Pfannkuchen.

Und lassen Sie uns sagen, dass Sie Ihr Zimmer nicht aufgeräumt haben, aber als Sie in die Küche gingen, machte Ihre Mutter Pfannkuchen. Fragen Sie sich, ob dies Ihre Mutter zum Lügner macht. Es tut nicht! Sie wäre nur dann eine Lügnerin, wenn Sie das Zimmer aufräumen würden, aber sie weigerte sich, Pfannkuchen zu backen. Es könnte andere Gründe geben, warum sie beschlossen hat, Pfannkuchen zu backen (vielleicht hat deine Schwester ihr Zimmer aufgeräumt). Deine Mutter hat dir nicht gesagt, "Wenn du nicht aufräumst, mache ich keine Pfannkuchen", oder?

Also, wenn ich sage

"Wenn die Sonne grün ist, ist das Gras grün."

das macht mich nicht zum Lügner. Die Sonne ist nicht grün (du hast das Zimmer nicht aufgeräumt), aber das Gras war trotzdem grün (aber deine Mutter hat trotzdem Pfannkuchen gemacht).

— Andrej Bauer
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Es würde dich nicht zum Lügner machen, aber es würde dich auch nicht zum Wahrsager machen. Warum sagst du nicht einfach die ehrliche Wahrheit, dass es eine reine Konvention ist? Jeder auf dem Planeten scheint Angst zu haben, es zu sagen (mit Ausnahme des Benutzers, der die andere Antwort auf dieser Seite gepostet hat) ...

— Mehrdad

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Worauf beziehen Sie sich, wenn Sie sagen, dass es sich um eine reine Konvention handelt? Die Bedeutung der Implikation? Sicher, aber Sie irren sich, wenn Sie sagen, es sei eine reine Konvention, als wäre die Bedeutung der Implikation eine Art willkürlicher Müll, den ein Bürokrat erfunden hat. Konventionen (wenn Sie sie so nennen wollen) in der Mathematik gibt es aus gutem Grund. Sie sind nützlich und helfen , Dinge zu erklären . Sie sind alles andere als willkürlich, weshalb es unredlich ist, die Position einzunehmen, dass "alles nur eine reine Konvention ist". Es macht dich zu einem Troll.

— Andrej Bauer

Das Atmen ist nur eine Konvention. ;-)

— Jpaugh

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<span style = "voice: samuel-jackson"> Glaubst du, das ist Luft, die du atmest? </ span>

— Andrej Bauer

2

@AndrejBauer - ... ähm, ich denke du meinst style="voice: laurence-fishburne"..

— Mark Rogers

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Es ist eine Konvention - wir könnten eine andere verwenden, aber diese ist praktisch. Folgendes sagt Terence Tao :

Dies wird in Anhang A.2 meines Buches [Analysis 1] erörtert. Der in der Mathematik verwendete Implikationsbegriff ist der materielle Implikationsbegriff, der insbesondere jeder unvollständigen Implikation einen wahren Wert zuweist. Man könnte natürlich eine andere Konvention für den Implikationsbegriff verwenden, aber die materielle Implikation ist sehr nützlich, um mathematische Theoreme zu beweisen, da man Implikationen wie „wenn A, dann B“ verwenden kann, ohne zuerst prüfen zu müssen, ob A ist wahr oder nicht. Die materielle Implikation berücksichtigt auch eine Reihe nützlicher Eigenschaften, wie zum Beispiel die Spezialisierung: Wenn man zum Beispiel für jedes x weiß, dass P (x) Q (x) impliziert, kann man dies auf einen bestimmten Wert von $x$ Sagen Sie 3 und schließen Sie, dass P (3) Q (3) impliziert. Beachten Sie jedoch, dass dadurch eine nicht leere Implikation zu einer leeren Implikation werden kann. Zum Beispiel wissen wir, dass für jede reelle Zahl impliziert ; Spezialisiert man dies auf die reelle Zahl 3, so erhält man die unklare Implikation, dass impliziert . $x \geq 5$ $x^2 \geq 25$ $x$ $3 \geq 5$ $3^2 \geq 25$

Ich stelle mir materielle Implikationen wie folgt vor: Die Behauptung, dass A B impliziert, besagt lediglich, dass „B mindestens so wahr ist wie A“. Insbesondere wenn A wahr ist, muss B auch wahr sein; aber wenn A falsch ist, dann erlaubt die materielle Implikation, dass B entweder wahr oder falsch ist, und so ist die Implikation wahr, egal was der Wahrheitswert von B ist.

— Hatschepsut
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Diese Aussage klingt gut, bis Sie erkennen, dass die Intuition, die sie hervorruft, nicht wahr ist. Denken Sie an etwas wie "Wenn Außerirdische die Erde durchstreifen, dann bin ich ein Außerirdischer" ... Ich würde viel eher glauben, dass Außerirdische die Erde durchstreifen, als dass ich selbst ein Außerirdischer bin ...

— Mehrdad

1

"Wenn Außerirdische die Erde durchstreifen, bin ich ein Außerirdischer" ist keine wahre Implikation. das heißt, q folgt normalerweise nicht aus p. Das heißt , wenn sich von p falsch ist die Implikation wahr ist

— eques

@Mehrdad sollte das nicht sein "Wenn ich ein Alien bin, dann durchstreifen Aliens die Erde"?

— Paŭlo Ebermann

@eques: "Wenn die Sonne morgen aufgeht, stehe ich morgens auf." Ich wette, wenn die Sonne morgen nicht aufgeht, stehe ich morgens immer noch auf ). Aber die Leute sagen sowieso sowas.

— Mehrdad

@Mehrdad Leute sagen Dinge, die nicht die ganze Zeit logisch streng sind; das heißt nicht, dass die Regeln der Logik nicht gut sind. Und wenn jemand morgens immer noch aufsteht, obwohl die Sonne nicht aufgegangen ist, hat er sich nicht dagegen gewehrt. Die Implikation ist immer noch wahr

— eques

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"A impliziert B" bedeutet (kurz) "wenn A wahr ist, dann ist B wahr".

Es bedeutet (etwas länger), "wenn A wahr ist, dann behaupte ich, dass B wahr ist; wenn A falsch ist, dann mache ich keine Behauptung über B".

Nehmen Sie nun "Wenn die Sonne grün ist, dann ist das Gras grün".

In der Langform heißt es: "Wenn die Sonne grün ist, dann behaupte ich, dass das Gras grün ist. Wenn die Sonne nicht grün ist, dann mache ich keinen Anspruch auf die Farbe des Grases." Die Sonne ist nicht grün, also mache ich keinen Anspruch auf die Farbe des Grases.

— gnasher729
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Wenn Sie also keine Behauptung bezüglich des Grases aufstellen, bedeutet dies, dass alles für das Gras zutrifft ... aber wie ist dies gleichbedeutend mit "Ich mache keine Behauptung bezüglich des Grases"?

— yoyo_fun

Kann der 'implizite' Logikoperator unter Verwendung von Mengen wie die übrigen Operatoren modelliert werden?

— yoyo_fun

1

@yoyo_fun

ist äquivalent zu

und Sie können es gleich modellieren.

A \to B

$A \rightarrow B$

\neg A \lor B

$\neg A \vee B$

— Hobbs

1

@yoyo_fun Kein Anspruch auf das Gras zu erheben bedeutet nicht , dass alles wrt. Gras ist wahr! (Das Gras lebt; das Gras ist tot, kann nicht beides wahr sein.) Im Kontext bedeutet es: "Wenn die Sonne nicht grün ist, dann gibt uns die ursprüngliche Aussage keinerlei Informationen über das Gras."

— Jpaugh

6

Nehmen wir ein Beispiel. Angenommen, wir möchten ausdrücken, dass das einzige Element der Menge , das die Eigenschaft erfüllt . Dann können wir schreiben $a$ $S$ $P$ Dies besagt, dass jedes Element von , das erfüllt, gleich . Sie erhebt keinen Anspruch auf Elemente, die nicht erfüllen. Wenn nicht erfülltund von verschieden ist,dann ist falsch und ist falsch, und so ist

\forall x \in S P (x) \Rightarrow x = a

$\forall x \in S \;\; P(x) \Rightarrow x = a$

x

$x$

P

$P$

a

$a$

P

$P$

b

$b$

P

$P$

a

$a$

P (b)

$P(b)$

b = a

$b = a$

wahr, genau wie in Ihrem Beispiel.

P (b) \Rightarrow b = a

$P(b) \Rightarrow b = a$

— Yuval Filmus
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3

Das finde ich die beste Antwort. Als Beispiel: Die Behauptung "Wenn ein Tier eine Katze ist, dann ist es ein Säugetier" ist wahr, obwohl es Tiere gibt, die Säugetiere sind, aber keine Katzen, und Tiere, die weder Katzen noch Säugetiere sind.

— Jadhachem

4

Es ist wichtig zu beachten, dass viele Formen der Logik kein Konzept von Chronologie oder Kausalität haben. Wenn etwas wahr ist, dann wird es - in seinem Kontext - für immer wahr gewesen sein und bleiben. Zu sagen, dass X Y impliziert, bedeutet in keiner Weise, dass X in irgendeiner Weise bewirkt, dass Y wahr ist. Es bedeutet lediglich, dass X nicht wahr sein kann, ohne dass Y ebenfalls wahr ist, und Y nicht falsch sein kann, ohne dass X ebenfalls falsch ist.

Um Kausalzusammenhänge in der realen Welt sinnvoll zu beschreiben, ist etwas erforderlich, das über die in der "zeitlosen" Logik verwendeten Konstrukte hinausgeht. Ein Konzept wie "Für jede Aktion Y, die X ausführen würde dazu führen , Y , vernünftig zu sein, ist Y angemessen angesehen wird“ kann auch in einem kausalen Universum nützlich sein , wenn X falsch sein könnte, aber der Implikationsoperators bläst vollständig in solchen Fällen auf. Wenn man sagt "X impliziert, dass Y als vernünftig angesehen werden soll" und sich herausstellt, dass X niemals wahr ist, würde dies bedeuten, dass alle Aktionen als vernünftig angesehen werden sollen.

Ich bin nicht sicher, welche Formen der Logik die Konstrukte enthalten, die erforderlich sind, um Aussagen zuzulassen, die Einweg-Kausalität beinhalten, aber zu erkennen, dass die logische Definition von "impliziert" die Konzepte von Zeit und Kausalität nicht erkennt, sollte es einfacher machen, zu verstehen, warum sie sich verhalten auf kontraintuitive Weise.

— Superkatze
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1

Bei der Verwendung von Implication In English geht es nicht um die Dinge oder Objekte, die wir berücksichtigen.

$sun$ $green$ $grass$ $green$

Sonne ist hier nur ein Objekt, keine emotionalen Bindungen daran, dass eine Sonne nicht grün sein kann.

$S$ $G$ $GG$

$->$

Dies scheint weniger verwirrend als beim Schreiben auf Englisch.

— iambruv
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Was hat "emotionale Bindung" mit irgendetwas zu tun? Und wie hat die Rechtschreibung der Objekte die Frage unterschiedlich beantwortet?

— Leichtigkeit Rennen mit Monica

@LightnessRacesinOrbit Es ist nur für einige Schüler, dass sie Dinge emotional sehen, anstatt logisch orientiert zu sein. Und es tut mir leid, welche Rechtschreibung falsch ist?

— Iambruv

Ich habe nicht gesagt, dass Ihre Rechtschreibung falsch ist. Ich frage, warum die Antwort "Sonne" als S, "Grün" als Gund "Gras" als GGüberhaupt etwas ändert.

— Leichtigkeit Rennen mit Monica

@LightnessRacesinOrbit Oh, es ist nur zum Überzeugen, nichts weiter. Manchmal werden wir verwirrt, wenn Sätze gegeben werden, wie manche Stifte Bleistifte sind, alle Bleistifte Papageien sind, kein Papagei ist ein Vogel. Daher bevorzuge ich es, diese Art von Symbol zu verwenden, um nicht mehr zu visualisieren, wie alle Stifte mit dem Vogel verwandt sind, weil sie nur Objekte sind, die weder mit Bleistift noch mit Vogel von Bedeutung sind.

— iambruv

Ja, ich verstehe immer noch nicht, wie das die Frage beantwortet, aber okay

— Lightness Races mit Monica

-1

Um Kopf an der richtigen Stelle für meine Antwort zu setzen, möchte ich erwähnen , was Ich mag die Flying Monkeys Satz nennen, oder was Wikipedia mag das nennen Prinzip der Explosion , die besagt:

(p \land \neg p) \to q

$(p\wedge\neg p) \rightarrow q$

Oder auf Englisch heißt es: " Wenn ein Widerspruch vorliegt , könnten Affen aus meinem Hintern fliegen (NSFW-Audio) " oder alternativ: "Aus Unwahrheit folgt alles". Eine Möglichkeit, dies zu bedenken, ist, dass wenn und dann , dies bedeutet, dass , oder dies könnte bedeuten $2+2=4$ $2+2=5$ $4=5$ $0=1$ $16=25$ $1=0$ $1=-1$ indem Sie eine versteckte Division durch Null missbrauchen , weil Sie nicht durch Null teilen dürfen, damit Sie alles, was Sie wollen, wahr machen können.

$p$ $F \rightarrow T$ $F \rightarrow F$

— durron597
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2

P \to Q

$P\to Q$

P

$P$

Q

$Q$

Q

$Q$

r = \neg q

$r = \neg q$

(p \land \neg p) \to q

$(p \wedge \neg p) \rightarrow q$

(p \land \neg p) \to r

$(p \wedge \neg p) \rightarrow r$ folgt , einschließlich eines weiteren Widerspruchs.

— Durron597