Konsequenzen

Wir wissen, dass äquivalent sind und die auf die Ebene zusammenbricht.

Was sind die anderen nicht trivialen Zusammenbrüche und Konsequenzen?

$\newcommand{\co}{\mathsf{co}\text{-}}$ $\newcommand{\class}[1]{\mathsf{#1}}$

Wenn dann haben Sie einen Zusammenbruch auf die erste Ebene, nämlich .$\class{PP}=\class{RP}$$\class{PH}=\class{NP}$

Angenommen, , da unter Komplement geschlossen ist, haben wir , also .$\class{PP}=\class{RP}$$\class{PP}$$\mathsf{RP}=\co{\class{RP}}=\class{ZPP}$$\class{PP}=\class{ZPP}$

Mit Todas Theorem:

$\class{PH}\subseteq\class{P^{\class{PP}}}=\class{P}^{\class{ZPP}}=\class{ZPP}\subseteq{\class{NP}}$ .

Sie erhalten tatsächlich etwas Stärkeres, wenn , dann kollabiert die Hierarchie zu .$\class{PP}=\class{RP}$$\class{ZPP}$

In der Tat könnte man zeigen , dass die Zählung Hierarchie zu kollabiert , mit einfacheren Argumente als Toda-Theorem und acheive .$\class{ZPP}$$\class{PH}\subseteq\class{CH}\subseteq\class{ZPP}$

Ein verlockendes Argument wäre zu sagen, dass und für sich selbst niedrig sind, dh dann und zu . Dies ist offensichtlich falsch, da wobei Sätze von Sprachen sind, die von bestimmten Typen von Turing-Maschinen (Typen und ) impliziert nicht für ein Orakel . Sehen$\class{PP}=\class{ZPP}$$\class{ZPP}$$\class{ZPP}^{\class{ZPP}}=\class{ZPP}$$\class{PP}^{\class{PP}}=\class{ZPP}^{\class{ZPP}}=\class{ZPP}$$\class{CH}$$\class{ZPP}$$\class{A}=\class{B}$$\class{A},\class{B}$$\class{A}$$\class{B}$$\class{A}^{\mathcal{O}}=\class{B}^{\mathcal{O}}$$\mathcal{O}$diese Antwort zur weiteren Erklärung.

Was Sie tatsächlich zeigen müssen, um (natürlich unter der ursprünglichen Annahme von , ist, dass ist niedrig für , dh . Wenn dies zutrifft, dann ist und damit . Glücklicherweise ist dies nicht allzu schwierig (und kann sogar verstärkt werden, bis für niedrig ist ).$\class{CH}\subseteq{ZPP}$$\class{PP}=\class{RP})$$\class{ZPP}$$\class{PP}$$\class{PP}^{\class{ZPP}}=\class{PP}$$\class{PP}^{\class{PP}}=\class{PP}^{\class{ZPP}}=\class{PP}=\class{ZPP}$$\class{CH}\subseteq\class{ZPP}$$\class{BPP}$$\class{PP}$

Sei eine Sprache in , dann existiert eine probabilistische Polynomzeit-Turing-Maschine mit Zugriff auf ein -Orakel , nenne sie , so dass:$L$$\class{PP}^{\class{ZPP}}$$\class{ZPP}$$\mathcal{O}$$M_{\mathcal{O}}$

$x\in L\Rightarrow \Pr\left[M_{\mathcal{O}} \text{ accepts x}\right]>\frac{1}{2}$ und

$x\notin L\Rightarrow \Pr\left[M_{\mathcal{O}} \text{ accepts x}\right]\le\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n^c}}$ .

Wobei die Laufzeit von (in der Standarddefinition erscheint die zweite Ungleichung mit , kann jedoch auf verbessert werden und damit zu den oben genannten).$n^c$$M_{\mathcal{O}}$$\le\frac{1}{2}$$<\frac{1}{2}$

Angenommen, die Turing-Maschine, die hat die Laufzeit erwartet$\mathcal{O}$$n^d$ . Betrachten wir nun die Maschine , die jeden Orakelaufruf von durch eine Schritte-Simulation der -Maschine für , und wiederholen Sie diese Simulation mal . Wenn wir auf einen Orakelruf stoßen , für den dieser Prozess keine Antwort ergab (keine der -Schrittssimulationen wurde angehalten), lehnt ab.$M$$M_{\mathcal{O}}$$t$$\class{ZPP}$$\mathcal{O}$$k$$k$ $t$$M$

Es sei bezeichnen den Fall , dass alle die Simulationen in der vorgegebenen Zeit gestoppt, dann gilt :$H$

$\Pr\left[\text{M accepts x}\right]=\Pr\left[\text{M accepts x} | H\right]\Pr[H]+\Pr\left[\text{M accepts x}\Big| \overline{H}\right]\Pr\left[\overline{H}\right]=\Pr\left[\text{M accepts x} | H\right]\Pr[H]=\Pr\left[M_{\mathcal{O}} \text{ accepts x}\right]\Pr[H]$ .

So haben wir:

$x\in L\Rightarrow \Pr\left[\text{M accepts x}\right]>\frac{1}{2}\Pr[H]$ und

$x\notin L\Rightarrow \Pr\left[\text{M accepts x}\right]\le\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n^c}}\right)\Pr[H]\le \frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n^c}}$ .

Durch Markovs Ungleichung stoppt eine einzelne Simulation nicht mit der Wahrscheinlichkeit , also$\le \frac{n^d}{t}$$k$ $t$ angehalten Steps-Simulationen keine Antwort mit der Wahrscheinlichkeit ausgeben . Durch die Vereinigungsgrenze haben wir für und . In diesem Fall erreicht die folgende Trennung:$\le \left(\frac{n^{d}}{t}\right)^k$$\Pr[H]\ge 1-n^c\left(\frac{n^{d}}{t}\right)^k\ge 1-\frac{1}{2^{n^c}}$$t=2n^d$$k=2n^c$$M$

$x\in L\Rightarrow \Pr\left[\text{M accepts x}\right]>\frac{1}{2}\left(1-2^{-n^c}\right)$ und

$x\notin L\Rightarrow \Pr\left[\text{M accepts x}\right]\le \frac{1}{2}-2^{-n^c}<\frac{1}{2}-\frac{1}{2}2^{-n^c}$

Dies beweist , da wir die Konstante durch eine beliebige Funktion ersetzen können$L\in \class{PP}$$\frac{1}{2}$$f(x)\in \class{FP}$ . In dieser Frage finden Sie einen Beweis dafür, warum wir durch eine beliebige rationale Konstante ersetzen können , und überzeugen Sie sich davon, dass sie sofort auf eine verallgemeinert wird .$\frac{1}{2}$$f\in \class{FP}$