Beweis der Unentscheidbarkeit des Halteproblems

Ich habe Probleme, den Beweis für die Unentscheidbarkeit des Halteproblems zu verstehen.

Wenn zurückgibt, ob das Programm a bei Eingabe b anhältoder nicht, warum müssen wir den Code von P sowohl für a als auch für b übergeben ?$H(a,b)$$a$$b$$P$$a$$b$

Warum können wir mit P und einer beliebigen Eingabe, z. B. x , versorgen ?$H()$$P$$x$

Der Beweis zielt darauf ab, einen Widerspruch zu finden. Sie müssen verstehen, woraus der Widerspruch besteht, um zu verstehen, warum als Eingabe für sich selbst verwendet wird. Der Widerspruch ist informell: Wenn wir eine Maschine H (a, b) haben, die "a akzeptiert b" entscheidet, können wir eine Maschine konstruieren, die Maschinen akzeptiert, die sich selbst nicht akzeptieren. (Lies das ein paar Mal, bis du es bekommst.) Die auf dem Bild gezeigte Maschine - nennen wir es M - M ( P ) = macht $P$$M$$M(P) =$$P$ nicht akzeptieren ?$\langle P \rangle$

Der Widerspruch entsteht, wenn Sie fragen: Hat $M$ akzeptieren ? Versuchen Sie, die beiden Optionen herauszufinden, um festzustellen, wo ein Widerspruch besteht.$\langle M \rangle$

akzeptiert ⟨ M ⟩ , wenn und nur wenn$M$$\langle M \rangle$$M$ akzeptiert keine ; Das ist eindeutig ein Widerspruch.$\langle M \rangle$

Aus diesem Grund ist es für den Beweis unerlässlich, auf sich selbst auszuführen und keine willkürlichen Eingaben zu machen. Dies ist ein häufiges Thema bei Unmöglichkeitsbeweisen, die als diagonale Argumente bezeichnet werden.$P$

Ignoriere das Bild für einen Moment. Wir werden es in Kürze bekommen. Das Programm soll ein Haltetester sein: Wenn wir H eine Eingabe eines Programms a (denken Sie an a als die Auflistung eines Programms) und überhaupt etwas für b , H ( a , b $H(a, b)$$H$$a$$a$$b$$H(a, b)$ wirkt wie folgt

1. Wenn das durch Programm bei Eingabe von b anhält , antwortet H ( a , b ) mit "Ja". Wenn andererseits das durch a beschriebene Programm bei Eingabe von b für immer läuft, dann ist H ( a , b $a$$b$$H(a, b)$$a$$b$$H(a, b)$ wird mit „Nein“ beantworten.
2. Wichtig ist, dass Programm immer anhält und die richtige Antwort für alle Paare gibt ( a , b $H$$(a, b)$ .

Das Argument, dass es unmöglich ist , zu erstellen, beruht auf der Aktion eines bestimmten "perversen" Programms, P , das H als Subroutine verwendet. P nimmt als Eingabe eine Auflistung eines beliebigen Programms, x , und führt Folgendes aus:$H$$P$$H$$P$$x$

P(x) =
  run H(x, x)
  if H(x, x) answers "yes"
      loop forever
  else
      halt

Das ist nicht schwer zu sehen

stoppt genau dann, wenn das Programm$P(x)$$x$ für immer ausgeführt wird, wenn eine eigene Beschreibung als Eingabe angegeben wird.

So weit so gut: wird sicherlich ein Programm sein , solange sein Unterprogramm $P$$H$ ein Programm ist.

Kehren Sie jetzt zum Bild zurück. Was passiert, wenn eine eigene Beschreibung als Eingabe erhält ? Das Bild beschreibt genau dieses Szenario: Sei p die Beschreibung von Programm P , dann ersetzen wir den oben hervorgehobenen Teil durch$P$$p$$P$

wird genau dann angehalten, wenn das Programm P ( p ) für immer ausgeführt wird.$P(p)$$P(p)$

Natürlich ist dieses paradoxe Verhalten unmöglich, daher sind wir zu der Schlussfolgerung gezwungen, dass das Unterprogramm kein Stop-Tester sein kann, da es in dem einen Fall fehlschlägt, in dem es als Eingabe ( p , p ) angegeben ist . Es mag andere Fälle geben, in denen H so funktioniert, wie es sollte, aber da H in mindestens einer Situation ausfällt, kann es nicht wie erforderlich ein vollständiger Stop-Tester sein.$H$$(p, p)$$H$$H$

Versuchen Sie einen schöneren Beweis mit Animationen. Und da ansewrs mehr als nur einen Link zu einer Site enthalten sollte, ist hier die Antwort auf Ihre Frage.

Erinnern wir uns zunächst daran, wie der Beweis der Nichtexistenz des Orakels Halting funktioniert. Wir beweisen, dass es bei jedem Kandidaten Hfür ein Halting-Orakel ein Programm Pund eine Eingabe gibt, afür die Hnicht richtig vorhergesagt werden kann, wasP(a) passiert.

Theorem: Sei Hjedes Programm, das zwei Eingaben annimmt und immer entweder haltoder zurückgibt loop. Dann gibt es ein Programm Qund eine Eingabe a, die Q(a)anhält, wenn und nur dann, wenn H(Q,a)zurückkehrt loop.

Beweis. Betrachten Sie das Programm

program P(y):
  if H(y,y) = halt then
    loop forever
  else:
    return

Lass Q = Pund a = P. Entweder H(Q,a) = haltoder H(Q,a) = loop:

• wenn H(Q,a) = haltdann Q(a)(was gerade ist P(P)) läuft ewig nach der Definition vonP .
• wenn H(Q,a) = loopdann Q(a)halt durch die definoin von P.

QED

Sie haben gefragt, warum wir uns überlegt haben, H(P,P)statt H(P,X)für andere X. Die offensichtliche Antwort lautet: "Weil H(P,P)der Beweis funktioniert"! Wenn Sie H(P,X)für eine beliebige verwendet X, dann würden Sie stecken bleiben. In der Tat würde der Beweis dann so aussehen:

Unterbrochener Beweis. Betrachten Sie das Programm

program P(y):
  if H(y,y) = halt then
    loop forever
  else:
    return

Lass Q = Pund a = Xfür einige willkürlich X. Entweder H(Q,X) = haltoder H(Q,X) = loop:

• Nehmen H(Q,X) = haltwir an, wir können nicht sagen, was P(X)passiert, denn ob P(X)angehalten wird, hängt davon ab, was H(X,X)zurückkommt. Wir stecken fest. Wenn wir das jedoch wüssten P(X)und X(X)dasselbe sind, könnten wir Fortschritte erzielen. (Also sollten wir wirklich nehmen X = P).
• wenn H(Q,a) = loopwir dann wieder stecken, und wir wären stecken geblieben, wenn X = P.

Keine QED.

Ich hoffe dies zeigt, dass wir überlegen H(P,P)müssen, um unsere Idee umzusetzen.

Das Ergebnis des Beweises ist diese Analogie:

Wenn eine Person behauptet, kann sie ( P ) das Gefühl jeder Person P 'erkennen, wenn sie / er$P$$_{(P)}$$P^{\prime}$$_{(P^{\prime})}$$P$$_{(P)}$$_{(P)}$$_{(P)}$ . 🙂

$_{(P)}$$_{(P^{\prime})}$