Reduzieren Sie das folgende Problem auf SAT

Hier liegt das Problem. Gegeben sei , wobei jedes T i ⊆ { 1 , … , n } ist . Gibt es eine Teilmenge S ⊆ { 1 , ... , n } mit einer Größe von höchstens k , so dass S ∩ T i & ne; ∅ für alle i ? Ich versuche, dieses Problem auf SAT zu reduzieren. Meine Idee einer Lösung wäre, eine Variable x $k, n, T_1, \ldots, T_m$$T_i \subseteq \{1, \ldots, n\}$$S \subseteq \{1, \ldots, n\}$$k$$S \cap T_i \neq \emptyset$$i$$x_i$für jede von 1 bis . Für jedes T i , erstellen Sie eine Klausel ( x i 1 ∨ ⋯ ∨ x i k ) wenn T i = { i 1 , ... , i k } . Dann und all diese Klauseln zusammen. Dies ist jedoch eindeutig keine vollständige Lösung, da es nicht die Beschränkung darstellt, die S höchstens k Elemente haben muss. Ich weiß, dass ich mehr Variablen erstellen muss, aber ich bin mir einfach nicht sicher, wie. Ich habe also zwei Fragen:$n$$T_i$$(x_{i_1} \vee \cdots \vee x_{i_k})$$T_i = \{i_1, \ldots, i_k\}$$S$$k$

1. Ist meine Lösungsidee auf dem richtigen Weg?
2. Wie sollen die neuen Variablen erstellt werden, damit sie zur Darstellung der Kardinalitätsbeschränkung ?$k$

Es sieht so aus, als würden Sie versuchen, eine Hypergraph-Transversale der Größe zu berechnen . Das heißt, { T 1 , … , T m } ist Ihr Hypergraph und S ist Ihr Transversal. Eine Standardübersetzung besteht darin, die Klauseln so auszudrücken, wie Sie sie haben, und dann die Längenbeschränkung in eine Kardinalitätsbedingung zu übersetzen.$k$$\{T_1,\dots,T_m\}$$S$

So nutzen Sie Ihre bestehende Codierung, dh und dann Klauseln hinzufügen kodieren Σ 1 ≤ i ≤ n x i ≤ k .$\bigwedge_{1 \le j \le m} \bigvee_{i \in T_j} x_i$$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

ist ein Kardinalität constraint. Es gibt verschiedene Übersetzungen von Kardinalitätsbeschränkungen in SAT.$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

Die einfachste, aber ziemlich große Kardinalitätsbeschränkungsübersetzung ist nur . Auf diese Weise repräsentiert jede Disjunktion die Bedingung ¬ ⋀ i ∈ X x i - für alle Teilmengen X von { 1 , … , n $\bigwedge_{X \subseteq \{1,\dots,n\}, |X| = k+1} \bigvee_{i \in X} \neg x_i$$\neg \bigwedge_{i \in X} x_i$$X$$\{1,\dots,n\}$der Größe k + 1. Das heißt, wir stellen sicher, dass auf keinen Fall mehr als k Variablen festgelegt werden können. Beachten Sie, dass dies keine Polynomgröße in $k$

Einige Links zu Artikeln über platzsparendere Kardinalitätsbeschränkungsübersetzungen mit Polynomgröße in $k$ :

• Übersetzung pseudo-boolescher Constraints in SAT - Niklas Eén und Niklas Sörensson, JSAT Bd. 2 (2006), S. 1-26 (eine gute Übersicht).
• Effiziente CNF-Codierung von booleschen Kardinalitätsbeschränkungen - Olivier Bailleux und Yacine Boufkhad, Verfahren und Praxis der Constraint-Programmierung 2003, LNCS Band 2833, S. 108-122 (eine nette, recht einfach zu implementierende Übersetzung).
• Auf dem Weg zu einer optimalen CNF-Codierung von booleschen Kardinalitätsbeschränkungen - Carsten Sinz - Vorgehensweise bei Prinzipien und Praktiken der Beschränkungsprogrammierung 2005, LNCS 3709, S. 827-831.
• Auf dem Weg zu robusten CNF-Kodierungen für Kardinalitätsbeschränkungen - Joao Marques-Silva und Inês Lynce, Verfahren und Praxis der Beschränkungsprogrammierung 2007, LNCS 4741, S. 483-497.

Wenn Sie tatsächlich an der Lösung solcher Probleme interessiert sind, ist es vielleicht besser, sie als pseudo-boolesche Probleme zu formulieren (siehe Wiki-Artikel über pseudo-boolesche Probleme ) und pseudo-boolesche Löser zu verwenden (siehe pseudo-boolesche Konkurrenz ). Auf diese Weise sind die Kardinalitätsbedingungen nur pseudo-boolesche Bedingungen und Teil der Sprache - hoffentlich behandelt der pseudo-boolesche Löser sie dann direkt und damit effizienter.

$k$

$\Gamma_{2,1}^{+}$$\Gamma_{2,1}^{+}$ist die Klasse aller positiven CNF-Formeln. In diesem Fall müssten Sie sich überlegen, welche Parametrierung in Ihrem Fall sinnvoll wäre.

Ich gehe davon aus, dass Sie nach einer expliziten Reduktion suchen, aber wenn nicht, können Sie jederzeit auf das Cook-Levin-Theorem zurückgreifen .