Bei 2 Sätzen von n Punkten: Minimieren Sie die Summe der zurückgelegten Entfernungen

Ich bekomme zwei Sätze $S, T$ jeder von $n$ Punkte in $\mathbb{R}^k$ Ich möchte eine Bijektion finden $a : S \rightarrow T$ , so dass

\sum_{s \in S} d (s, a (s))

$\sum_{s \in S} d(s, a(s))$ wird minimiert, mit

d

$d$ die euklidische Distanz sein.

Ich bin mir bewusst, dass dieses Transportproblem ein Sonderfall des Erdbewegungsentfernungsproblems ist, aber da es ungewichtet ist (und über Punkte liegt), frage ich mich, ob es dafür einen effizienteren Algorithmus als die ungarische Kubikzeitmethode gibt.

— user695652
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Zum

d = 1

$d=1$ Es gibt einen einfachen gierigen Algorithmus mit

O (n \log n)

$O(n \log n)$ Laufzeit. Vielleicht lohnt es sich darüber nachzudenken

d = 2

$d=2$ als einfachster interessanter (nicht trivialer) Fall.

— DW

Ich bezweifle das. Ich las eine Zeitung aus dem Jahr 2014, die genau dies als Teilproblem lösen musste, und sie verwendeten die

O (n^{3})

$O(n^3)$ Ungarischer Algorithmus.

— j_random_hacker

Als ganz besonderer Fall: Wenn

d = 2

$d=2$ Sie können die konvexe Hülle am Set aller bauen

2 n

$2n$ Punkte in

O (n \log n)

$O(n\log n)$ Zeit und berechnen Sie dann den Gesamtabstand für jeden der 2 möglichen abwechselnden Kantenpfade um den Rumpf. Wenn die kleinere davon eine gültige Lösung ist, muss sie optimal sein. (Offensichtlich ist dies eine noch stärkere Anforderung, als dass die Punkte alle auf der konvexen Hülle liegen müssen, was bereits eine sehr starke Bedingung ist ...)

— j_random_hacker

Vielleicht möchten Sie es ändern in

R^{k}

$\mathbb{R}^k$ oder etwas, seit du benutzt

d

$d$ für die Metrik

— MCT

Wie in der Problemstellung erwähnt, handelt es sich hierbei um das Zuweisungsproblem (zweigliedriges Mindestgewicht), bei dem bekannt ist, dass die Gewichte die euklidischen Abstände sind.

Seit dem ungarischen Algorithmus wurden einige Verbesserungen vorgenommen, zumindest in Bezug auf asymptotische Grenzen. Abhängig von der genauen Größe des Diagramms kann einer von mehreren Algorithmen der beste sein. Eine Tabelle in der Arbeit von Cohen et al. Gibt Einzelheiten. Der Algorithmus von Edmonds und Karp ist $O(nm + n^2 log n)$ und ist immer noch die beste Grenze, die nicht vom maximalen Gewicht in der Grafik abhängt. Cohens Algorithmus scheint der beste für spärliche Graphen zu sein, was nicht Ihre Situation ist. Ich denke, das Beste für Ihre dichte Grafik wäre Sankowskis $\tilde{O} (W n^\omega)$ , da es nicht darauf ankommt $m$ .

Ich weiß nicht, ob es Möglichkeiten gibt, die spezifische Gewichtsstruktur dieses Problems (euklidische Abstände) für weitere Verbesserungen zu nutzen.

Quellen:

Kürzeste Wege mit negativem Gewicht und Einheitskapazität Mindestkostenfluss in $\tilde{O}(m^{(10/7)} log W)$ Zeit. Michael B. Cohen, Aleksander Madry, Piotr Sankowski und Adrian Vladu
https://arxiv.org/abs/1605.01717v3 (Preprint)

J. Edmonds und RM Karp. Theoretische Verbesserungen der algorithmischen Effizienz bei Netzwerkflussproblemen. J. ACM, 19 (2): 248–264, 1972.

Piotr Sankowski. Automaten, Sprachen und Programmierung: 33. Internationales Kolloquium, ICALP 2006, Venedig, Italien, 10.-14. Juli 2006, Proceedings, Teil I, Kapitel Weighted Bipartite Matching in Matrix Multiplication Time, Seiten 274–285. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 2006.
http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F11786986_25

— tjhighley
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