Der DOUBLE-SAT-Nachweis ist NP-vollständig

Das bekannte SAT-Problem wird hier als Referenz definiert .

Das DOUBLE-SAT-Problem ist definiert als

$\qquad \mathsf{DOUBLE\text{-}SAT} = \{\langle\phi\rangle \mid \phi \text{ has at least two satisfying assignments}\}$

Wie beweisen wir, dass es NP-vollständig ist?

Es wird mehr als ein Weg geschätzt, dies zu beweisen.

Hier ist eine Lösung:

Zweifellos gehört Double-SAT zu , da ein NTM Double-SAT wie folgt entscheiden kann: Errate auf einer Booleschen Eingangsformel ϕ ( x 1 , … , x n ) nicht deterministisch 2 Zuweisungen und überprüfe, ob beide ϕ erfüllen .${\sf NP}$$\phi(x_1,\ldots,x_n)$$\phi$

Um zu zeigen, dass Double-SAT -komplett ist, geben wir eine Reduktion von SAT auf Double-SAT wie folgt:${\sf NP}$

Bei Eingabe von :$\phi(x_1,\ldots,x_n)$

1. Führe eine neue Variable .$y$
2. Ausgangsformel .$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y) = \phi(x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$

Wenn zu SAT gehört, hat ϕ mindestens 1 erfüllende Zuordnung, und daher hat ϕ ′ ( x 1 , … , x n , y ) mindestens 2 erfüllende Zuordnungen, wie wir die erfüllen können neue Klausel ( y ∨ ˉ y ) durch Zuweisen von entweder$\phi (x_1,\ldots,x_n)$$\phi$$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y)$$y \vee \bar y$ oder y = 0 zu der neuen Variablen y , also ϕ ′ ($y = 1$$y = 0$$y$$\phi'$ , ..., x n , y ) ∈ Doppel-SAT.$x_1$$x_n$$y$$\in$

Wenn andererseits , dann ist eindeutig ϕ ′ ( x 1 , ... , x n , y ) = ϕ ( x 1 , ... , x n ) ∧ ( y ∨ ˉ y ) hat auch keine befriedigende Zuordnung, also ϕ ′ ( x 1 , … , $\phi(x_1,\ldots,x_n)\notin \text{SAT}$$\phi' (x_1,\ldots,x_n, y) = \phi (x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$ .$\phi'(x_1,\ldots,x_n,y) \notin \text{Double-SAT}$

Daher ist , und Double-SAT ist somit N P -komplett.$\text{SAT} \leq_p \text{Double-SAT}$${\sf NP}$

Sie wissen, dass NP-vollständig ist. Können Sie eine Reduzierung von S A T auf D O $\mathsf{SAT}$$\mathsf{SAT}$? Das heißt, können Sie eine erfüllbare Formel so manipulieren, dass das Ergebnis mindestens zwei erfüllende Zuweisungen hat? Beachten Sie, dass die gleiche Manipulation nicht zu befriedigenden Formeln führen kann.$\mathsf{DOUBLE\text{-}SAT}$

Für jede Formel hat die Formel φ ∨ f ( φ ) mindestens die doppelte Anzahl erfüllender Bewertungen wie $\varphi$$\varphi \lor f(\varphi)$$\varphi$ , wobei ein Homomorphismus ist, der alle Variablen in neue Namen umbenennt.$f$