Gewichtsannahme in Schwellwertschaltungen

Ein Schwellenwertgatter, das eine lineare Schwellenwertfunktion an booleschen Eingängen implementiert ist durch die Gleichung gegeben: wobei . Die werden als Gewichte der Schwellenwertfunktion bezeichnet, und wird als Schwellenwert bezeichnet, und natürlich das Gate eine$n$$x_1, x_2 \ldots, x_n$$w_1 x_1 + w_2 x_2 + \ldots, w_n x_n \ge t$$w_1, \ldots, w_n, t \in \mathbb{R}$$w_i$$t$$1$ an einem Eingang aus$x$ wenn die durch die obige Gleichung angegebene gewichtete Summe überschreitet $t$.

Jetzt, fast überall in der Literatur zu Schwellenwertschaltungen, stoße ich auf diese Tatsache (die ich vermute, ist Folklore, da ich nirgendwo einen Beweis finden konnte): Die $w_i$'s in der obigen linearen Gleichung können ganze Zahlen gemacht werden (on $n \log{n}$Bits), und eine Schwellenwertschaltung, die aus diesen Gattern besteht, berechnet immer noch, was mit realen Gewichten möglich war. Ich habe darüber nachgedacht, und ich denke, es muss ein einfacher Trick sein, aber ich habe keinen Beweis für diese Tatsache erhalten. Kann mir jemand helfen oder eine Referenz geben? (Die einzige Referenz, die ich finden konnte, war ein Text von Muroga, den ich nicht beschaffen konnte.)

Gegeben $w_1,\ldots,w_n,t$, Lassen $X$ die Menge der Aufgaben so sein, dass $\sum_i w_i x_i \geq t$und betrachten Sie das lineare Programm mit Variablen $z_1,\ldots,z_n$ und der $2^n$ Einschränkungen

$$\begin{align*} \sum_i z_i x_i \geq +1 & (x_1,\ldots,x_n) \in X \\ \sum_i z_i x_i \leq -1 & (x_1,\ldots,x_n) \notin X \end{align*}$$ Dieses lineare Programm (mit konstanter Zielfunktion) ist möglich (seit $z_i = w_i/t$ ist eine Lösung) und hat auch eine Lösung $z_1,\ldots,z_n$Das ist ein Scheitelpunkt. Als solches ist es die Lösung eines Systems von$n$ Gleichungen der Form $$\sum_i z_i x_i = \pm 1.$$ Cramers Regel gibt jeden $z_i$ als Verhältnis von zwei $n \times n$ Determinanten von Matrizen von $0,\pm 1$Einträge; in der Tat ist der Nenner der gleiche. Jeder Zähler$N_i$ und der gemeinsame Nenner $D$ ist höchstens $n!$ in der Größe, also multiplizieren Sie alles mit $D$erhalten wir eine integrale Lösung $N_1,\ldots,N_n,D$, wo alle Mengen höchstens sind $n! \leq n^n = 2^{n\log n}$ in der Größe.