Ein Ein-Satz-Beweis von P ⊆ NP

Kürzlich lese ich ein Dokument [1]. In diesem Dokument liefert Prof. Cook einen kurzen Beweis für , der nur ein Satz ist: $\mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}$

Es ist trivial zu zeigen, dass , da wir für jede Sprache über , wenn , die Polynom-Zeit-Überprüfungsrelation von für alle . $\mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}$ $L$ $\Sigma$ $L \in \mathbf{P}$ $R \subseteq \Sigma^* \cup \Sigma^*$
$R (w, y) ⟺ w \in L$ $R(w, y) \Longleftrightarrow w \in L$ $w, y \in \Sigma^*$

Ich kenne die Definitionen von und wie in [1], aber ich kann diesen Beweis immer noch nicht verstehen. Könnte mir jemand den Beweis erklären? Schon ein Satz ist gut. $\mathbf{P}$ $\mathbf{NP}$

Ich denke übrigens, sollte . Habe ich recht? $\Sigma^* \cup \Sigma^*$ $\Sigma^* \times \Sigma^*$

Referenz

[1] S. Cook, Das P-gegen-NP-Problem , [Online] http://www.claymath.org/sites/default/files/pvsnp.pdf .

complexity-theory np

— Wei-Cheng Liu
quelle

ja es sollte ein

\times

$\times$

— adrianN

Für fast alle äquivalenten Definitionen von und gibt es einzeilige Beweise für .

P

$P$

N P

$NP$

P \subseteq N P

$P \subseteq NP$

— Shreesh

@Shreesh Könnten Sie mir bitte sagen, wo ich diese einzeiligen Proofs finden kann? Vielen Dank.

— Wei-Cheng Liu

Gary & Johnson verwenden eine andere Definition für NP, aber sie verwenden einen einfachen Beweis (nur eine Erwähnung), um dies zu zeigen

P \subseteq N P

$P \subseteq NP$ Ignorieren Sie im Grunde die Vermutungszeichenfolge. Die Zertifikatsdefinition wird in Arora und Barak verwendet, sie verwenden auch einen einfachen Beweis (nur einen Hinweis) für

P \subseteq N P

$P \subseteq NP$ , die das Zertifikat grundsätzlich ignoriert. Hopcroft und Ullman verwenden eine andere Definition für NP und ignorieren den Nichtdeterminismus, um dies zu beweisen

P \subseteq N P

$P \subseteq NP$ (nur eine Erwähnung im Text, dass es möglich ist).

— Shreesh

Antworten:

Da L in P ist, können Sie das Wortproblem in Polynomzeit beantworten. Um zu zeigen, dass L auch in NP ist, müssen wir eine Polynomprüfungsrelation bereitstellen $R$ so dass

w \in L \Leftrightarrow \exists y . (| y | \leq | w^{k} | and R (w, y))

$w\in L \Leftrightarrow \exists y.(|y|\le |w^k| \text{ and } R(w,y))$

Jetzt sagt Prof. Cook, dass er eine sehr einfache nehmen soll $R$ . Für jeden $w$ im $L$ , egal was $y\in \Sigma^*$ du nimmst, $R(w,y)$ ist wahr und für jeden $w$ nicht in $L$ , $R(w,y)$ ist falsch, unabhängig von der $y$ . Dies ist eine polynomielle Zeitbeziehung, da wir entscheiden können, ob $w\in L$ oder nicht in Polynomzeit (seit $L \in P$ ), ohne zu schauen $y$ überhaupt. Und wie jeder $y$ funktioniert, es gibt auch einige $y$ die kurz genug sind, um die Längenbeschränkung in der obigen Definition zu erfüllen.

— adrianN
quelle

$P=\{L : L\ \text{is decided by a }\mathbf{deterministic}\text{ Turing machine in polynomial time}\}$

$NP=\{L : L\text{ is decided by a (possibly non-deterministic) Turing machine in polynomial time}\}$

Mit diesen Definitionen $P\subseteq NP$ ist ziemlich offensichtlich.

Lass uns anrufen $\widetilde{NP}=\{L : \text{There is some } R \text{ so that } L_R\in P\}$ wo $R\subseteq \Sigma^*\times \Sigma'^*$ und $L_R=\{u\#v : (u,v)\in R\}$ . Die Idee hier ist das $u$ ist der "echte" Eingang und $v$ ist eine zusätzliche Information, die uns hilft zu wissen, warum wir akzeptieren sollten $u$ . Zum Beispiel, wenn das Problem ist $SAT$ , $u$ ist die Formel und $v$ kann eine Bewertung sein.

$\widetilde{NP}\subseteq NP$ : Vermuten $v$ und dann überprüfen $u\#v$ es.
$NP\subseteq\widetilde{NP}$ : Gegeben $u$ , $v$ werden die Listenübergänge in einer Ausführung akzeptiert $u$ . Verifizieren $u\#v$ müssen Sie nur die Ausführung der nicht deterministischen Maschine auf simulieren $u$ während dem Benutzen $v$ Nichtdeterminismus zu entfernen.

Der Beweis, auf den Sie sich beziehen, ist nur das zu sagen $P\subseteq \widetilde{NP}$ und du brauchst nicht einmal $v$ weil es keinen Nichtdeterminismus zu entfernen gibt.

Und ja, das sollte es sein $\Sigma^* \times \Sigma^*$ .

— xavierm02
quelle

Ich habe Ihre Antwort gelesen, vielen Dank. Aber ich kann den Inhalt nicht verstehen "

\tilde{N P} \subseteq N P

$\widetilde{NP} \subseteq NP$ ... kein Nichtdeterminismus zu entfernen. "Könnten Sie es mir bitte erklären? Vielen Dank im Voraus.

— Wei-Cheng Liu

Wenn Sie das beweisen

N P \subseteq \widetile N P

$NP \subseteq \widetile{NP}$ Sie nehmen ein Problem

X \in N P

$X\in NP$ und versuchen Sie das zu beweisen

X \in \widetile N P

$X \in \widetile{NP}$ . Schon seit

X

$X$ ist in

N P

$NP$ Sie haben eine nicht deterministische Turingmaschine

M

$M$ das entscheidet es in polynomialer Zeit

f (n)

$f(n)$ für jede Eingabe der Größe

n

$n$ . Um zu beweisen, dass es drin ist

\widetile N P

$\widetile{NP}$ müssen Sie einen deterministischen Verifizierer bereitstellen . Da weißt du so gut wie nichts darüber

X

$X$ Es scheint ziemlich offensichtlich, dass Sie verwenden müssen

M

$M$ um den Verifizierer zu konstruieren. Aber

M

$M$ ist nicht deterministisch und Sie möchten einen deterministischen Prüfer. Sie müssen "die Nichtbestimmung entfernen".

— Xavierm02

Sie tun dies, indem Sie die Liste der Übergänge des Computers, die während einer akzeptierenden Ausführung vorgenommen wurden, als Zertifikat verwenden. Dies gibt Ihnen ein Größenzertifikat

P (n)

$P(n)$ und angesichts der Liste der Übergänge können Sie simulieren

M

$M$ und folge einfach diesen Übergängen, so dass obwohl

M

$M$ Ist dies nicht deterministisch, können Sie diese Ausführung in Polynomzeit deterministisch simulieren . | Nun, wenn Sie genau das Gleiche mit tun

P

$P$ anstatt

N P

$NP$ , Sie brauchen das Zertifikat nicht, weil

M

$M$ ist bereits deterministisch, und wenn Sie nur die Eingabe haben, können Sie auf alle Übergänge schließen, die vorgenommen wurden.

— Xavierm02

Ich habe Ihre Kommentare sorgfältig gelesen. Vielen Dank. Aber es gibt einige Eigennamen, die ich immer noch nicht verstehen kann. Was ist der Prüfer? Was ist der deterministische Verifizierer? Was ist das Zertifikat? Könnten Sie sie mir bitte erklären? Oder könnten Sie bitte einige Referenzen auflisten, damit ich diese Eigennamen aus den Referenzen verstehen kann? Danke im Voraus.

— Wei-Cheng Liu