Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Code beendet wird?

Ich habe diesen Python-Code geschrieben und mich gefragt, ob er manchmal einfach nicht endet (vorausgesetzt, wir hatten unendlich viel Speicher / Zeit und keine Rekursionstiefenbegrenzung).

Intuitiv würden Sie denken, dass es endet, da Sie irgendwann Glück haben müssen , und wenn es nicht endet, haben Sie unendlich viel Zeit, um Glück zu haben. Andererseits müssen Sie mit zunehmender Rekursionstiefe exponentiell mehr Glück haben.

import random

def random_tree():
    if random.random() < 0.5:
        return 0
    return [random_tree() for _ in range(random.randint(1, 5))]

Wenn random_treenicht immer beendet wird, warum und wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es beendet wird?

Ich habe versucht, es mit zu berechnen , was in seiner schrecklichen Nutzlosigkeit entweder ergibt die Antwort ~ oder ... .$P = 1 - (1 - 0.5)(1 - (P + P^2 + P^3 + P^4 + P^5)/5)$$0.684124$$1$

Wahrscheinlich komplizierter, aber auch faszinierend für mich, was ist die Kündigungsmöglichkeit für:$P(a, b)$

def random_tree(a, b):
    if random.random() < a:
        return 0
    return [random_tree(a, b) for _ in range(random.randint(1, b))]

Oder im Pseudocode:

random_tree(a, b) is a function that either:
    - returns 0 with probability a
    - returns a list containing the results of 1 to b
      (uniformly chosen from this inclusive range) recursive calls

random_tree(a, b):
    if rand() < a # rand() is a random real on [0, 1)
        return 0
    list = []
    len = randint(1, b) # uniform random integer from 1 to b inclusive
    do len times
        append random_tree(a, b) to list
    return list

Dies ist ein Beispiel für einen Verzweigungsprozess . Das Verhalten eines Verzweigungsprozesses hängt von der erwarteten Anzahl von Kindern ab, die in Ihrem Fall beträgt . Wenn diese Zahl höchstens 1 ist, erlischt der Prozess mit Wahrscheinlichkeit 1. Wenn die Zahl größer als 1 ist, hat er eine Chance, für immer zu überleben. Die Extinktionswahrscheinlichkeit ist genau das, was Sie berechnet haben - Sie müssen die Wurzel auswählen, die kleiner als 1 ist.$1.25 > 1$