Füllen von Behältern mit Paaren Kugeln

Ein Behälter heißt voll, wenn er mindestens $k$ Bälle enthält. Unser Ziel ist es, so viele Behälter wie möglich zu füllen.

Im einfachsten Fall erhalten wir $n$ Bälle und können diese beliebig anordnen. In diesem Fall ist es offensichtlich das Beste, dass wir $\lfloor n/k \rfloor$ Behälter auswählen und $k$ Kugeln in jeden von ihnen einsetzen.

Folgendes Szenario interessiert mich: Wir bekommen $n$ Paar Bälle. Wir müssen die beiden Bälle eines jeden Paares in zwei verschiedene Behälter legen. Dann kommt ein Gegner und entfernt einen Ball von jedem Paar. Was können wir tun, um die maximal mögliche Anzahl an vollen Behältern nach dem Entfernen zu erreichen?

Eine einfache Strategie ist: $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ Paare von Behältern. Füllen Sie jedes Behälterpaar mit $2k-1$ Kugelpaaren (jeder Behälter enthält $2k-1$ Kugeln, eine Kugel von jedem Paar). Unabhängig davon, was unser Gegner entfernt, haben wir in jedem Bin-Pair mindestens einen vollen Bin.

Haben wir eine Strategie, die eine größere Anzahl von vollen Behältern erreicht (mehr als $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ )?

TL; DR - Nein, es gibt keine bessere Strategie als die einfache Strategie. Hier ist die Hauptidee des Beweises. Wenn nicht genügend Bälle sind, wird es eine „Kugelbahn“ sein , von einem $k$ -volle ist zu einem Behälter mit höchstens $k-2$ Bällen. Der Gegner kann einen Ball von diesem vollen Behälter zu diesem weniger vollen Behälter auf diesem Weg weitergeben, was wiederholt erfolgen kann, bis die Anzahl der $k$ vollen Behälter verringert ist.

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Umformulierung in der Graphentheorie

Nehmen wir an, wir erhalten einen einfachen endlichen Graphen mit einer Funktion w : E → Z ≥ 0 . Wir sagen, es gibt w ( e ) Bälle in Kante e . Sei E 2 die (endmarkierte Kante) Menge { ( e , v ) | e ∈ E , v ∈ e } . Wenn d : E 2 → Z ≥ 0 erfüllt$G(V,E)$$w: E\to\Bbb Z_{\ge 0}$$w(e)$$e$$E_2$$\{(e,v)| e\in E, v\in e\}$$d:E_2\to\Bbb Z_{\ge 0}$ für jede Kante e = { v 1 , v 2 } , sagen wirdaß d ist w -verteilende. Jede w- verteilende Funktion d induziert eine Funktion, für die wir dasselbe Symbol verwenden, d : V → Z ≥ 0 , d ( v ) $w(e)=d(e,v_1) + d(e,v_2)$$e=\{v_1,v_2\}$$d$$w$$w$$d$$d:V\to\Bbb Z_{\ge 0}$ . Wir sagen, dass d ( v ) Bälle in v sind . Bei k ∈ Z > 0 sei F k ( d ) = # { v ∈ V | d ( v ) ≥ k } , die Anzahl der k- vollständigen Eckpunkte von d .$d(v) =\sum_{v\in e}d(e,v)$$d(v)$$v$$k\in\Bbb Z_{\gt0}$$F_k(d)=\#\{v\in V|d(v)\ge k\}$$k$$d$

(Erel-Apass-Theorem) Für jeden einfachen endlichen Graphen und w : E → Z ≥ 0 gilt ∑ e ∈ E w ( e ) ≥ ( 2 k - 1 ) min w -Verteilung  d F k ( d $G(V,E)$$w:E\to\Bbb Z_{\ge0}$$\sum_{e\in E}w(e)\geq (2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)$

Stellen Sie sich vor, jeder Scheitelpunkt ist eine Bin. Für jede Kante werden w ( e ) Kugelpaare in v 1 und v 2 gesetzt , von denen jedes w ( e ) Kugeln erhält . Unter diesen w ( e ) Kugelpaaren kann der Gegner d ( e , v 2 ) Kugeln von v 1 und d ( e , v 1 wegnehmen$e=\{v_1,v_2\}$$w(e)$$v_1$$v_2$$w(e)$$w(e)$$d(e,v_2)$$v_1$ Bälle aus v 2 . Das Endresultat ist dasselbe, als ob für jede Kante e = { v 1 , v 2 } ,wenn anfangs alle leeren Bins gegeben sind, w ( e ) Bälle hineingelegt werden und dann d ( e , v 1 ) und d ( e , v 2 ) Bälle werdenvom Gegnerauf v 1 bzw. v 2 verteilt. Dahersagt Erel-Apass-Theorem das, um sicherzustellen$d(e,v_1)$$v_2$$e=\{v_1, v_2\}$$w(e)$$d(e,v_1)$$d(e,v_2)$$v_1$$v_2$ k-volle Behälter nach der Entfernung eines intelligenten Gegners werden mindestens ( 2 k - 1 ) t Paare Bälle benötigt. $t$$(2k-1)t$Mit anderen Worten, eine optimale Strategie, um die maximal mögliche Anzahl derverbleibendenvollen Bins zu erreichen, ist in der Tat die "einfache Strategie", bei der ein anderes Bins-Paar wiederholt mit Ballpaaren gefüllt wird, bis nicht mehr genügend Balls zum Wiederholen vorhanden sind .$2k-1$

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Beweis des Satzes

Um dem Widerspruch willen sei und w ein Gegenbeispiel, dessen Anzahl von Eckpunkten die kleinste unter allen Gegenbeispielen ist. Das heißt, es gibt eine w- Verteilung von m, so dass F k ( m ) unter allen F k ( d ) der w- Verteilungsfunktion d minimal ist . Weiterhin Σ e ∈ E w ( e ) < ( 2 k - 1 $G(V,E)$$w$$w$$m$$F_k(m)$$F_k(d)$$w$$d$

$$\sum_{e\in E}w(e)\lt (2k-1)F_k(m)$$

Sei . Sei V ℓ = { v ∈ V | m ( v ) ≥ k } . Also ist F k ( m ) = # V ℓ .$V_s=\{v\in V | m(v)\le k-2\}$$V_\ell=\{v\in V|m(v)\geq k\}$$F_k(m)=\#V_\ell$

Anspruch one: . $V_s\neq\emptyset$
Nachweis des Anspruchs eins. Angenommen, ist leer. Σ v ∈ V m ( V ) = ( k - 1 ) # V + Σ v ∈ V ( m ( v ) - ( k - 1 ) ) ≥ ( k - 1 ) # V + # V l$V_s$ Lass uns auchWiederverwendung w als eine Funktion von V zu Z ≥ 0 , so dass w ( v ) = Σ v ∈ e w ( e ) für jedes v ∈ V . ∑ v ∈ V w ( v

$$\sum_{v\in V}m(v)= (k-1)\#V +\sum_{v\in V}(m(v)-(k-1)) \ge (k-1)\#V + \#V_\ell \gt (k-1)\#V$$ $w$$V$$\Bbb Z_{\ge 0}$$w(v)=\sum_{v\in e}w(e)$$v\in V$ $$\begin{align} \sum_{v\in V}w(v) &=\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }w(e) =\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}w(e) =\sum_{e\in E}2w(e) =2\sum_{e\in E}w(e)\\ &=2\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}m(e,v) =2\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }m(e,v) =2\sum_{v\in V}m(v)\\ &\gt 2(k-1)\#V \end{align}$$ So there must be a vertex $b$ such that $w(b)\ge 2k-1$.

$G'(V', E')$$w'$$V'=V\setminus\{b\}$, $G'(V', E')$ is the induced graph $G[V']$ and where $w'=w|_{E'}$. For any $w'$-distributing function $d'$$w$$d_{d'}$$d_{d'}$ is the same as $d'$ on $E'$ while $d_{d'}(e, b)=w(e)$ for every edge $e$ adjacent to $b$. Note that $F_k(d_{d'})= F_k(d') + 1$ since $d_{d'}(b)=\sum_{b\in e}d_{d'}(e,b) = \sum_{b\in e}w(e)=w(b)\ge 2k-1\ge k$. Then

$$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e) - w(b)\\ &\lt (2k-1)F_k(m) -(2k-1)\\ &=(2k-1) \left(\min_{w\text{-distributing }d}F_k(d) -1\right)\\ &\le (2k-1) \left(\min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})-1\right)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$$ So, $G'(V', E')$ and $w'$ is a counterexample whose number of vertices is smaller than the number of vertices in $G$. That cannot true by our assumption about $G(V,E)$ and $w$. So claim one is proved.

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For any vertex $v$, define $v$ $d$-reachable from vertex $u$ if there is a path $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$, $m\ge0$ such that $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$. Let $V_r=V_\ell\cup \{v\in V|\exists u\in V_\ell \text{ and } v\text{ is } m\text{-reachable from } u \}$.

Claim two: $V_r = V$
Proof of claim two: Suppose $V_r\neq V$. For any vertex $v\in V_r$ and $u\notin V_r$, since we cannot reach $u$ from $v$, if $\{v, u\}$ is an edge, then $w(\{v, u\}, v) = 0.$ Consider the induced setup $G'(V', E')$ and $w'$, where $v'=V_r$, $G'(V', E')$ is the induced graph $G[V']$ and where $w'=w|_{E'}$. For any $w'$-distributing function $d'$, we can extend it to a $w$-distributing function $d_{d'}$ where $d_{d'}$ is the same as $d'$ on $E'$ and the same as $m$ on other edges. Note that $F_k(d_{d'})= F_k(d')$ since all vertices with no less than $k$ balls inside are in $V_\ell\subset V_r$. Then

$$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e)\\ &\lt (2k-1)F_k(m)\\ &=(2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$$ So, $G'(V', E')$ and $w'$ would be a counterexample whose number of vertices is smaller than the number of vertices in $G$. That cannot be true by our assumption about $G(V,E)$ and $w$. So claim two is proved.

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Now let us prove the theorem.

Since $V_r=V$ and $V_s\neq\emptyset$, there is a path $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$, $m\ge0$ with $m(u)\gt k$, $m(v)\leq k-2$ and $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$. Let us construct a new $w$-distributing function $r(m)$ from $m$ so that

$$r(m)(e, u)= \begin{cases} m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i) -1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_i)\text { for some } 0\le i\le m\\ m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_{i+1}) +1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_{i+1})\text { for some } 0\le i\le m\\ m(e,u) &\text{ otherwise } \end{cases}$$

$m$ and $r(m)$ agrees on all vertices except $v$ and $u$, $m(v)\lt r(m)(v)\le k-1$ and $r(m)(u)\lt m(u)$. We can apply this procedure on $r(m)$ to get $r^2(m)$. Repeating this $i$ time for some large enough $i$, we will obtain a $w$-distributing function $r^i(m)$ with $F_k(r^i(m))=0$. However, we have assumed that $F_k(m)>0$ is the minimum among $F(d)$ of $w$-distributing function $d$. This contradiction shows that we have proved the Erel-Apass theorem.