Unentscheidbarkeit, ob ein Programm wahr oder falsch zurückgibt

Betrachten Sie das Problem, eine Eingabe-Turing-Maschine zu nehmen und festzustellen, ob die endgültige Zelle a ist $0$ oder $1$nach der Berechnung wird angehalten. In Fällen, in denen etwas anderes geschrieben wird oder nicht angehalten wird, dürfen Sie eine Antwort geben (aber Sie müssen anhalten und auf alle Eingaben eine Antwort geben).

Ist dieses Problem unentscheidbar? Mein Bauch sagt, dass es sein sollte, aber ich kann keine Reduzierung des Halteproblems finden. Bei einer Turing-Maschine, die möglicherweise anhält oder nicht, können wir die Maschine so einrichten, dass sie mit a endet$0$ für den Fall, dass es anhält, aber im ununterbrochenen Fall mit nichts fertig werden kann, könnte das Orakel einfach sagen $0$ in diesem Fall, ohne herausfinden zu müssen, ob die Maschine tatsächlich anhält.

Beachten Sie, dass eine Reduzierung in die andere Richtung einfach ist. Wenn Sie das Problem des Anhaltens lösen können, geben Sie ein TM ein, das entweder mit endet$0$ oder $1$ersetzen wir die $1$-Schreibschritt mit einer Endlosschleife zum Erstellen eines neuen TM. Wenn das neue TM anhält, sagen wir "es schreibt a$0$"und wenn es nicht aufhört, sagen wir", schreibt es a $1$". Diese Antwort ist garantiert richtig, solange das TM tatsächlich mit a anhält $0$ oder $1$, damit wir das ursprüngliche Problem lösen können.

Angenommen, Sie haben eine Funktion wie die von Ihnen beschriebene:

def haltify(f):
    # Never fails to halt.
    # If 'f' halts, returns f().
    # If 'f' doesn't halt, anything could be returned.
    ... magic ...

Aber dann kommt jemand und macht das:

def evil():
    return not haltify(evil)

Sehen Sie das Problem?

1. Wenn haltify(f)garantiert für alle angehalten wird f, evilwird auch angehalten, weil es nur haltifyeine bestimmte aufruft fund die Ausgabe invertiert.
2. Da evilhält an, haltify(evil)muss gleich bewertet werden wie evil().
3. Also not haltify(evil)vereinfacht sich not evil()und das evil()kehrt zurück.
4. Das ist ein Problem, denn es gibt keine xBefriedigung x == not x. Das Ergebnis des Bösen ist widersprüchlich.
5. Daher ist eine der von uns verwendeten Annahmen falsch: Entweder haltifywird nicht garantiert, dass sie anhält, oder es wird nicht garantiert, dass sie zurückkehrt, f()wenn ein Anhalten bestanden wird f.

def good(): return haltify(good)Bonusübung : Warum verursacht die Funktion keine Probleme beim Anhalten, obwohl sie anscheinend auf die Endlosschleife vereinfacht wird def good(): return good()?

Nehme an, dass $M$ist eine Maschine, die dieses Problem löst; Ich nehme das an$M$akzeptiert eine Turing-Maschine und eine Eingabe, aber Sie können festlegen, dass eine Turing-Maschine nur akzeptiert wird, wenn Sie dies bevorzugen. Wir bauen eine andere Maschine$T$das funktioniert wie folgt. Bei Eingabe$x$, es läuft $M$ an der Maschine $x$ und Eingabe $x$, zeichnet die Ausgabe als auf $b$und schreibt $1-b$in der Anfangszelle. Jetzt renn$T$ auf sich selbst einen Widerspruch zu erreichen.

Ihre Reduzierung auf das Halteproblem ist logischerweise unkompliziert. Wenn Ihre Maschine anhält, muss sie aufgrund einer primitiven Konstruktion ihrer Eingabe in einiger Zeit T anhalten. Wenn das Halteproblem nicht lösbar ist, muss die Konstruktion verlustbehaftet sein. Daher gibt es eine Maschine, für die sie falsch vermutet und anhält, ohne vollständig bewertet zu werden, und eine lange Kette von XOR erzwingt eine vollständige Bewertung, um die richtige Antwort zu erhalten. Daher gibt es eine Maschine, für die sie die falsche Antwort liefert.

Tatsächlich reduziert sich jedes nicht triviale Problem, das nicht anhaltende Maschinen nicht als Eingabe ausschließt, auf diese Weise auf das Stoppproblem. Ref: https://en.wikipedia.org/wiki/Rice's_theorem