Invertieren einer Bandmatrix

Ich habe eine Bandmatrix - eine spärliche, quadratische, symmetrische Matrix, deren Struktur wie folgt aussieht: $N \times N$

Hier ist der Bereich unter den blauen Streifen die Nicht-Null-Elemente; alles andere ist Null

Gibt es einen Algorithmus zum Invertieren dieser Art von Matrix, der einfach und dennoch effizienter ist als die Gaußsche Eliminierung und LU-Zerlegung?

algorithms linear-algebra sparse-matrices

— rnels12
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Diese Matrizen werden Bandmatrizen genannt (und soweit ich weiß, waren sie die ursprüngliche Motivation, die Bandbreite eines Graphen zu ermitteln ), und möglicherweise ist dieses Papier ein nützlicher Ausgangspunkt.

— G. Bach

@ G.Bach Danke, ich werde mir das Papier ansehen. Können Sie mir die rechnerische Komplexität der Methode erklären?

— rnels12

Tut mir leid, ich weiß nicht, habe ein oder zwei Minuten gegoogelt, aber von der Zusammenfassung her schien es ein vielversprechender Anfang zu sein.

— G. Bach

Möchten Sie es invertieren oder das lineare System lösen? Die Antwort ist wahrscheinlich die letztere, da die Umkehrung einer Bandmatrix normalerweise dicht ist. Zusätzliche Frage: Gibt es noch mehr Struktur zum Ausnutzen?

— Pseudonym

OK. Der Grund, warum ich frage, ist, dass in den meisten Fällen Menschen, die glauben, eine Matrix umkehren zu wollen, dies wahrscheinlich nicht tun. In jedem Fall ist es eine gute Frage!

— Pseudonym

Da keiner der Kommentare die konkrete Antwort gab, werde ich sie hier explizit schreiben, falls jemand sie braucht (wie ich).

$\Omega\left(n^2\right)$ $A x = b$

$A$ $n \times n$ $k$ $k$ $L$ $U$ $O \left( k^2 n \right)$ $L U x = b$ $O(k n)$ $O\left(k^2 n\right)$ $k$

— Chausies
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