Gibt es einen O (log n) -Algorithmus für die Matrixexponentiation?

Gibt es einen Algorithmus, um eine Matrix in Zeit auf die te Potenz zu bringen ? $n$ $O(\log n)$

Ich habe online gesucht, war aber bisher erfolglos.

algorithms matrices

— Jack H.
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Sie meinen, Sie haben eine Matrix mit fester Größe? Wenn Ihre Matrix die Größe hat, können Sie nicht erwarten, einen

-Algorithmus zu finden.

m

$m$

O (l o g n)

$O(log \ n)$

Menschen bezeichnen dieses Problem normalerweise als Matrix-Powering. Matrixexponentiation bedeutet,

e^{X}

$e^X$

— Shitikanth

@ Shitikanth Ok, danke. Ich werde das jetzt ändern.

— Jack H

Antworten:

Hier ist der Pseudocode für einen -Matrix-Exponentiationsalgorithmus. Beachten Sie, dass der Operator * die gewöhnliche Matrixmultiplikation bezeichnet. $O(\lg n)$

MATHPOWER (M, n)
if n == 1
    then return M
else
    P = MATHPOWER (M, floor(n/2))
    if n mod 2 == 0
        then return P * P
    else
        return P * P * M

— Massimo Cafaro
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Für Menschen aus der Zukunft ist dies eine schreckliche Antwort. Es funktioniert O (n ^ 3 * log (n)), wenn stattdessen O (n ^ 3) -Algorithmen vorhanden sind. Siehe die Antwort von Yuval unten. In der Praxis erfolgt dies normalerweise durch SVD-Zerlegung, dann Anheben der N Elemente der D-Matrix auf die Potenz und erneutes Multiplizieren der Matrix.

— Michael O

@ Michael O, ich denke du hast den Punkt wirklich verpasst. Sie haben falsch verstanden, wonach das OP gefragt hat, dh wie eine Matrix in auf die te Potenz . Der Schlüssel ist, dass das OP nur verlangt, dass die Anzahl der durchgeführten Schritte , nicht die Gesamtkomplexität, da dies auch die Berücksichtigung der Matrixreihenfolge erfordern würde.

n

$n$

O (\lg n) s t e p s

$O(\lg n) steps$

O (\lg n)

$O(\lg n)$

— Massimo Cafaro

Es ist offensichtlich, dass der vorgeschlagene Divide and Conquer-Ansatz nur dann die Worst-Case-Komplexität , wenn die Matrixreihenfolge , da in diesem Fall die entsprechende Wiederholungsgleichung (als Beispiel kann für eine 3 × 3-Matrix eine Matrixmultiplikation unter Verwendung einer konstanten Anzahl von Skalarmultiplikationen und -additionen durchgeführt werden). Eine mögliche Anwendung des von mir angegebenen Algorithmus besteht darin, die te Fibonacci-Zahl zu berechnen , indem die Matrix mit den Einträgen berechnet wird nach der ten Potenz.

O (\lg n)

$O(\lg n)$

O (1)

$O(1)$

T (n) = T (n / 2) + O (1)

$T(n) = T(n/2) + O(1)$

n

$n$

a_{11} = 1, a_{12} = 1, a_{21} = 1, a_{22} = 0

$a_{11} = 1, a_{12} = 1, a_{21} = 1, a_{22} = 0$

n

$n$

— Massimo Cafaro

Beachten Sie zum Schluss auch, dass dies bereits geklärt und vollständig verstanden wurde: Schauen Sie sich einfach den Kommentar zu der Frage von @ user742 an.

— Massimo Cafaro

Es gibt zwei andere Algorithmen, die relevant sein können oder nicht. Der erste Algorithmus diagonalisiert Ihre Matrix (was normalerweise möglich ist) und schreibt sie als , wobei im Allgemeinen einen komplexen Wert haben kann. Sie berechnen dann . Beachten Sie, dass es sehr einfach ist, eine Diagonalmatrix auf die te Potenz anzuheben . Wenn nicht diagonalisierbar ist, finden Sie seine Jordan-Form und fahren wie zuvor fort (jetzt müssen Sie auch einige Binomialkoeffizienten berechnen). Dieser Algorithmus ist wahrscheinlich nicht numerisch stabil. $M = PDP^{-1}$ $M,D$ $M=PD^nP^{-1}$ $n$ $M$

Ein anderer Algorithmus nutzt die Tatsache, dass sein charakteristisches Polynom (oder sogar sein minimales Polynom) erfüllt. Angenommen, für einige , sagen wir das charakteristische Polynom. Dann können wir über berechnen und dann ersetzen . Das heißt, wir berechnen als Polynom, unter Verwendung der Tatsache , daß , und nur am Ende Ersatz werden die Werte von . Wir könnten sogar alle notwendigen Potenzen von und alle Werte von für $M$ $P(M) = 0$ $P$ $M^n$ $\mathbb{R}[M]/(P(M))$ $M$ $M^n$ $P(M) = 0$ $M$ $M$ $M^k \pmod{P(M)}$ $k < 2\deg P-1$ , und dann könnte dieser Algorithmus schneller sein als der Algorithmus, lautet die Antwort von Massimo Cafaro. Es ist möglicherweise numerisch stabiler als der vorherige Algorithmus.

— Yuval Filmus
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