Kontextfreie Sprachen werden nicht geschlossen, wenn sie "erweiterungsfrei" sind.

Definieren Sie für eine Sprache : $L$

N E (L) = {x \in L : x is not the proper prefix of any string in L}

$NE(L) = \{x \in L : x \text{ is not the proper prefix of any string in } L\}$

Ich versuche zu zeigen, dass kontextfreie Sprachen unter dieser Operation nicht geschlossen werden. Ich habe schon lange versucht, ein Gegenbeispiel zu finden, dh eine Sprache , bei der kontextfrei ist, jedoch nicht kontextfrei, und mir nichts einfallen lässt. Ich würde mich über Ideen oder Hinweise zu Sprachen freuen. $L$ $L$ $NE(L)$

Bearbeiten: Für die überwiegende Mehrheit der kontextfreien Sprachen scheint entweder oder . Ich habe sogar Probleme, Kandidatensprachen zu finden. $NE(L) = L$ $NE(L) = \varnothing$

formal-languages context-free closure-properties

— cemulieren
quelle

Lassen

L = {a^{n}} \cup {a^{n} b^{n}}

$L = \{a^n\} \cup \{a^nb^n\}$ , dann

N E (L) = {a^{n} b^{n}}

$NE(L) = \{a^nb^n\}$ . Aber

N E (L) \neq L \land N E (L) \neq \emptyset

$NE(L) \neq L \wedge NE(L) \neq \varnothing$ .

— Anton Trunov

Eher als die Sprache $L\subseteq \Sigma^*$ Betrachten Sie die Sprache $L' =L\$\$$ , verketten Sie also jede Zeichenfolge mit zwei Kopien von $\$$ wo $\$$ ist ein neues Symbol nicht in $\Sigma$ .

Lassen $x\in \Sigma^*$ . String $x\$$ ist kein richtiges Präfix von $L'$ iff $x\$\$ \notin L'$ iff $x\notin L$ .

Das sollte dich zum Laufen bringen.

— Hendrik Jan.
quelle

Ich habe jetzt schon eine Weile darauf gestarrt und sehe es einfach nicht. Zuerst,

x $

$x\$$ ist nicht mal in

L^{'}

$L'$ , so kann es sicher nicht sein

N E (L^{'})

$NE(L')$ (Das ist eine Teilmenge von

L^{'}

$L'$ ). Das Kriterium anzuwenden "ist kein richtiges Präfix von

L^{'}

$L'$ ", wir müssen mit einem beginnen

x \in L^{'}

$x \in L'$ , sonst bekommen wir keine Informationen über

N E (L^{'})

$NE(L')$ . Verstehe ich hier etwas falsch?

— Cemulate

Du hast recht. Um dies zu umgehen, reicht es meiner Meinung nach aus, darüber nachzudenken

L^{'} = L $ $ \cup Σ^{*} $

$L' = L\$\$ \cup \Sigma^*\$$ stattdessen.

— Hendrik

Ah, klug. Im Wesentlichen können wir diese Konstruktion verwenden, um zu zeigen, dass wenn

C F L

$CFL$ wurden unter geschlossen

N E

$NE$ dann müsste es unter Ergänzung geschlossen werden, um einen Widerspruch abzuleiten. Alternativ können Sie einfach eine Sprache auswählen, deren Komplement nicht CFL ist, um ein Gegenbeispiel zu erhalten. Danke, ich weiß nicht, wann ich an so etwas gedacht hätte ...

— Cemulate

@AntonTrunov Mein Vorschlag für den "generischen" Fall: Die beiden Teile der Sprache können durch ihre Schwänze unterschieden werden. So können wir isolieren

C (L) $

$C(L)\$$ durch Überschneiden mit regulären

Σ^{*} $

$\Sigma^*\$$ .

— Hendrik

@AntonTrunov Entschuldigung, ich hätte genauer sein sollen. Kontextfreie Sprachen werden im Schnittpunkt mit regulären Sprachen geschlossen.

— Hendrik