Warum zeigt dieses Diagramm die Enge der 2-Näherungsgrenze der MST-Heuristik?

Dies ist ein Hausaufgabenproblem, das mir gegeben wurde, und ich habe stundenlang mein Gehirn geharkt (also bin ich mit einigen Hinweisen zufrieden). Ich weiß bereits, dass das Approximationsverhältnis nicht schlechter als . Ich habe ein Raddiagramm, in dem jede Kante kostet und der Abstand zwischen allen Knoten, die nicht durch Kanten verbunden sind, beträgt . Der ist dieser: $2$ $1$ $2$ $W_6$

Ich habe blau markiert, was meiner Meinung nach die Ausgabe eines heuristischen MST-Algorithmus ist. Ich denke aber auch, dass dies die optimale Lösung ist, da alle Knoten nur einmal besucht werden können. Die Kosten für die Tour wären also für Optimal und MST. $7$

Ich sehe nicht, wie diese Art von Graph zeigt, dass die Approximationsgrenze der MST-Heuristik eng ist (nicht unbedingt diese Instanz, aber die Graphen im Allgemeinen). Kann mich jemand aufklären? $2$ $W_n$

— oarfish
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Kein einzelnes Beispiel kann "beweisen, dass die MST-Näherung an TSP eine 2-Näherung ist", da für eine 2-Näherung in allen Graphen ein Faktor von zwei des Optimums erforderlich ist . Was dieses Diagramm tun soll, ist zu beweisen, dass MST nicht besser als eine 2-Näherung ist, indem es ein Diagramm zeigt, auf dem es genau um den Faktor zwei herauskommt. Übrigens sollte es vermutlich eine schwarze Kante von V1 bis V6 geben.

— David Richerby

@ DavidRicherby Ich weiß, warum es nicht schlechter als eine 2-Näherung ist, dies soll eine Worst-Case-Instanz sein, die zeigt, dass die Grenze eng ist. Oder vielleicht würde eine Reihe von zunehmenden n das Verhältnis gegen zwei konvergieren lassen. Und soweit ich weiß, sollten die Speichen die einzigen schwarzen Kanten sein. Obwohl es die Tour nicht ändert, wenn Knoten im Kreis mit Kosten 1 verbunden sind, denke ich.

— Oarfish

Ich schlage vor, Sie formulieren Ihre Frage neu, um dies zu verdeutlichen.

— David Richerby

Ich sehe nicht, wie diese Art von Grafik zeigt, dass die 2-Approximationsgrenze der MST-Heuristik eng ist, scheint meine Absicht klar zu machen. Wie würden Sie vorschlagen, die Frage zu bearbeiten?

— Oarfish

@oarfish Der Titel ist das größte Problem; es lässt die Leute eine bestimmte Art von Frage erwarten. Dann lesen sie Dinge, die überhaupt nicht passen, überspringen den Rest und kommentieren.

— Raphael

Antworten:

Der Algorithmus bietet viel Freiheit: mehrere minimale Spannbäume und mehrere entsprechende Eulersche Touren. Versuchen Sie, die schlechteste Wahl zu finden und zeigen Sie, dass dies zu einer minderwertigen Tour führt. Was Sie zeigen, dass der Algorithmus könnte diese Wahl machen, und so könnte eine schlechte Approximation erzeugen.

Wenn Ihnen diese Idee der Wahl nicht gefällt, können Sie manchmal garantieren, dass der Algorithmus die gewünschten Entscheidungen trifft, indem Sie die Gewichte leicht anpassen.

— Yuval Filmus
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Wo kommt das minimale Matching ins Spiel? Ich spreche nicht von Christofides, sondern nur von MST-Heuristik. Und soweit ich Papier sehen und anprobieren kann, spielt es keine Rolle, ob ich mit dem MST beginne, bei dem es sich um einen Stern handelt

v_{0}

$v_0$ oder eine, die den äußeren Zyklus minus eine Kante plus eine der Speichen umfasst. Vielleicht habe ich ein grundlegendes Missverständnis, aber ich denke, es ist ganz einfach.

— Oarfish

@oarfish Richtig, Christofides 'Algorithmus ist tatsächlich besser.

— Yuval Filmus

Ich habe es vorher nicht bemerkt, aber das ist eigentlich die richtige Richtung. Man wählt einfach die schlechteste Tour aus. Ich habe nicht gesehen, dass es viele von ihnen gibt, die in Bezug auf die generierte TSP-Tour nicht gleichwertig sind.

— Oarfish

In der Grafik, die ich gepostet habe, fehlen einige Kanten. Benachbarte Knoten im Zyklus sollen verbunden sein. ( Bearbeiten : Das Diagramm wurde mit der TSP-Tour korrigiert.)

Das eigentliche Diagramm ist dies

Meine Lösung lautet wie folgt. Nun ist der für die MST-Heuristik berechnete MST offensichtlich

Erlaubt viele Euler-Touren, unter anderem diese:

Hier können die Zyklusknoten in beliebiger Reihenfolge besucht werden. Jetzt ist jede der Touren gültig, sodass wir zum Beispiel die schlechteste auswählen können $v_0,v_4,v_0,v_1,v_0,v_3,v_0,v_6,v_0,v_2,v_0,v_5,v_0$ . Basierend auf dieser Tour findet die MST-Heuristik diese TSP-Lösung:

Jetzt haben da alle Kanten Kosten $1$ und und alle Knoten, die nicht in der Grafik verbunden sind, haben Abstand $2$ Die Kosten für die Tour betragen $2(n-1) + 2$ wo die optimale Tour gekostet hätte $n+1$ . Im Limit

$\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{MST(W_n)}{Opt(W_n)} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n}{n+1} = 2 \end{equation*}$

— oarfish
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