Chromatisches Polynom eines Quadrats

11

Betrachten Sie ein Quadrat, ABCD. Intuitiv schien es mir, dass sein chromatisches Polynom $\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2)$ wo $\lambda$ Farben verfügbar sind.

Das heißt, es gibt $\lambda$ Möglichkeiten, wie eine Farbe für A ausgewählt werden kann, es gibt $\lambda - 1$ Möglichkeiten für die Auswahl von Farben für B und D (B und D liegen neben A) und $\lambda - 2$ Möglichkeiten für Farben für C bis abgeholt werden.

Die Verwendung des Zerlegungssatzes (Folie 47, Beispiel 11.33) und die Zerlegung des Quadrats in einen Pfad der Länge 3 und ein Dreieck zeigt jedoch, dass meine anfängliche Argumentation falsch ist.

Können Sie mir sagen, wo ich mit meinem Denken falsch liege?

graph-theory colorings

— Abhijith Madhav
quelle

8

Sie müssen sich daran erinnern, dass die diagonalen Eckpunkte gleich gefärbt sein können! Ihre Formel berücksichtigt dies nicht. Wir können die chromatische Zahl eines Graphen über das Einschluss-Ausschluss-Prinzip ermitteln. Es ist eine sehr allgemeine Zähltechnik, mit der wir komplexe Strukturen zählen können, wenn wir bestimmte Grenzen für bestimmte Teilmengen nachweisen können.

Die Hauptidee ist, dass wir alle möglichen Arten zählen, wie eine Eigenschaft passiert. Dann entfernen wir einige "schlechte" Gegenstände. Möglicherweise haben wir jedoch zu viel entfernt und müssen einige "gute" Elemente wieder hinzufügen. Dies geht hin und her, bis wir alle Teilmengen durchlaufen haben.

Das Einschluss-Ausschluss-Prinzip sagt uns, dass bei gegebenem Grundsatz , die Anzahl der Elemente von die in keiner der Teilmengen ist $|X|=n$ $X$ $A_i$

\sum_{I \subseteq [n]} (- 1)^{| I |} | A_{I} |, where I is the set of indices in X and A_{I} = ⋂_{i \in I} A_{i}

$\sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|}|A_I| \text{, where } \\ I \text{ is the set of indices in } X \text{ and } A_I = \bigcap_{i \in I} A_i$

Sei die Anzahl der Farben und sei die Menge aller möglichen Färbungen (dh ) und sei $\lambda$ $X$ $|X| = \lambda^4$

A_{e} = {coloring : e = (i, j) \in E, color (i) = color (j)}

$A_{e} = \{\text{coloring} : e=(i,j) \in E, \text{color}(i) = \text{color}(j) \}$

Bevor wir unser endgültiges Polynom erhalten, müssen wir die Größe unserer Mengen und die Größe aller sich überschneidenden Teilmengen zählen. $A_{e}$

Beachten Sie, dass . Dies liegt an der Tatsache, dass wir nur färben, aber immer die gleichen Farben für benachbarte Eckpunkte auswählen. In Zukunft haben wir, $|A_{12}| = |A_{23}| = |A_{34}| = |A_{41}| = \lambda^3$ $G$

$|A_{12} \cap A_{23} | = |A_{23} \cap A_{34} | = |A_{34} \cap A_{41}| = |A_{41} \cap A_{12}| = |A_{12} \cap A_{34}| = |A_{41} \cap A_{23}| = \lambda^2$

$|A_e \cap A_{e'} \cap A_{e''}| = \lambda$ $|A_{12} \cap A_{23} \cap A_{34} \cap A_{41}| = \lambda$

λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - - 4 λ + λ = λ^{4} - - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - - 3 λ

$\lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + \lambda = \lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 3\lambda$

Jetzt mit Einschluss-Ausschluss für dieses Problem zu zählen war nicht so schlecht, weil wir einen einfachen 4-Zyklus hatten. Wenn das Diagramm mehr Struktur hätte, würde es schnell ärgerlich werden, jede Kreuzungsgröße für alle möglichen Kreuzungen herauszufinden.

— Nicholas Mancuso
quelle

2

Die Antwort von Nicholas oben und diese hat mir geholfen, den Fehler in meinem Denken zu erkennen. Ich dachte daran, genauer auf Nicholas ', näher einzugehen.

Sie müssen sich daran erinnern, dass die diagonalen Eckpunkte gleich gefärbt sein können

und erhalten Sie auch das chromatische Polynom, indem Sie meine falsche Argumentation berücksichtigen.

$\lambda - 2$ $\lambda - 1$

$P(ABCD, \lambda)$
$λ(λ−1)(1)(λ−1) + λ(λ−1)(λ−2)(λ−2)$

— Abhijith Madhav
quelle