Was ist los mit meinem Pumping Lemma Beweis?

Die Sprache ist offensichtlich regulär - zum Beispiel entspricht sie dem regulären Ausdruck . Das folgende Argument des Pumping Lemma scheint jedoch zu zeigen, dass es nicht regelmäßig ist. Was ist falsch gelaufen?$L = \{0^{2n} \space |\space n \ge 0 \}$$(00)^*$

Ich habe einen Weg gefunden, einen Eingang als , der die Anforderungen des Pump-Lemmas erfüllt, aber es ist nicht wahr, dass für alle  . Bedeutet das nicht, dass die Sprache nicht regelmäßig ist?$s$$xyz$$xy^iz\in L$$i$

Genauer gesagt , sagt der Pumping - Lemma für reguläre Sprachen , dass, wenn eine Sprache  regulär ist, gibt Pumplänge existiert , so dass eine beliebige Zeichenfolge mit kann geschrieben werden solche Das:$L$$p \ge 1$$s\in L$$|s|> p$$s = xyz$

1. $\lvert y \rvert \ge 1$
2. $\lvert xy \rvert \le p$
3. $xy^iz\in L$ für alle .$i \ge 0$

Nehmen wir also und schreiben es als (dh , , ). Dies erfüllt 1. und 2. Wenn wir jedoch , erhalten wir , was nicht in ist  weil seine Länge ungerade ist. Es sieht also so aus, als ob die Sprache doch nicht regelmäßig ist.$s = 0^{2p}$$s=\epsilon\, 0 \, 0^{2p-1}$$x = \epsilon$$y = 0$$z = 0^{2p-1}$$i=0$$xy^iz = \epsilon\, 0^0\,0^{2p-1} = 0^{2p-1}$$L$

^{Dies ist als Referenzfrage gedacht, die einen häufigen Fehler bei der Verwendung des Pump-Lemmas für reguläre Sprachen veranschaulicht. Vielen Dank an Ariel für das Erkennen des Problems in der Originalversion der Frage.}

Das Problem liegt in den Quantifizierern. Das Pump-Lemma besagt, dass jeder String mit als geschrieben werden kann , so dass die drei Eigenschaften gelten. Es heißt nicht, dass jede Art, es als schreiben , die die ersten beiden Eigenschaften hält, auch die dritte hält.$s$$|s|\geq p$ $xyz$$xyz$

Für die Sprache gehen wir wie folgt vor. Beachten Sie zunächst, dass wir , da wir bei gezwungen sind, , , und Sie haben dies bereits in der Frage gezeigt das funktioniert nicht Mit können wir also schreiben als ( , , ). Wir haben , und für alle$\{0^{2n}\mid n\geq 0\}$$p\geq 2$$p=1$$x=\epsilon$$y=0$$z=0^{2p-1}$$p\geq 2$$s = 0^{2p}$$s=\epsilon\,00\,0^{2(p-1)}$$x=\epsilon$$y=00$$z=0^{2(p-1)}$$|\epsilon00| \leq p$$|00|>1$$(00)^i\,0^{2(p-1)}\in L$$i\geq 0$. Daher gibt es eine Möglichkeit, die Zeichenfolge als zerlegen , die alle Eigenschaften erfüllt, obwohl die erste Zerlegung, an die Sie gedacht haben, nicht funktioniert hat.$xyz$

Um zu zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist, müssen Sie zeigen, dass jede Zerlegung in , die die ersten beiden Eigenschaften erfüllt, die dritte nicht erfüllt. Es reicht nicht aus, nur zu zeigen, dass eine Zerlegung nicht funktioniert.$xyz$

Um zu verstehen, warum das Pump-Lemma so ist, wie es ist, hilft es, über den Beweis nachzudenken. Wenn eine Sprache regulär ist, wird sie von einigen EDA akzeptiert. Dieser DFA hat eine Reihe von Zuständen: Nennen Sie es . Nach dem Pigeonhole-Prinzip muss der DFA immer dann, wenn er eine Zeichenfolge liest, die länger als , einen Zustand zweimal besuchen: sagen wir den Zustand  . Nun ist  der Teil der Eingabe, der bis zum ersten Besuch von gelesen wurde (und diesen einschließt)  ,  ist der Teil, der nach dem ersten Besuch gelesen wurde, und bis einschließlich des zweiten (der mindestens ein Zeichen sein muss), und  ist der Rest . Aber jetzt können Sie sehen, dass akzeptiert werden muss: bringt Sie vom Startzustand zu $p$$p$$q$$x$$q$$y$$z$$xz$$x$$q$ und Sie von in einen akzeptierenden Zustand. Ebenso muss für jedes positive akzeptiert werden  , da jede Wiederholung von  Sie von zurück zu  . Es ist zu beachten, dass die Zerlegung der Eingabe in , und  vollständig durch den Automaten bestimmt wird, der wiederum (aber nicht eindeutig) durch die Sprache bestimmt wird. Sie können also die Zerlegung nicht auswählen: Wenn die Sprache regulär ist, ist eine gewisse Zerlegung vorhanden. Um zu zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist, müssen Sie zeigen, dass jede Zerlegung fehlschlägt.$z$$q$$xy^iz$$i$$y$$q$$q$$x$$y$$z$