Ich habe kürzlich eine interessante Analogie gehört, die besagt, dass Turings Beweis für die Unentscheidbarkeit des Stopp-Problems Russells Barbier-Paradoxon sehr ähnlich ist.

Also wunderte ich mich: Mathematiker schafften es schließlich, die Mengenlehre konsistent zu machen, indem sie von Cantors naiver Feldformulierung zu einem komplexeren Axiomensystem übergingen (ZFC-Mengenlehre) und dabei wichtige Ausschlüsse (Restriktionen) und Ergänzungen machten.

Wäre es vielleicht möglich, eine abstrakte Beschreibung der allgemeinen Berechnung zu finden, die leistungsfähiger und aussagekräftiger als Turing-Maschinen ist und mit der man entweder einen existenziellen Beweis oder sogar einen Algorithmus zur Lösung des Halteproblems erhalten könnte eine beliebige Turingmaschine?

Sie können nicht wirklich vergleichen. Die naive Mengenlehre hatte Paradoxe, die durch die ZFC-Mengenlehre beseitigt wurden. Die Theorie muss auf Konsistenz hin verbessert werden, da eine Grundannahme der wissenschaftlichen Arbeit darin besteht, dass Konsistenz erreichbar ist (andernfalls wird die Umgestaltung zu einem Zufallsgeschäft). Ich nehme an, Mathematiker haben damit gerechnet, dass es möglich sein muss, und haben daran gearbeitet, das Problem zu lösen.

Bei der Berechnungstheorie und dem Halteproblem gibt es eine solche Situation nicht. Es gibt kein Paradoxon, keine Inkonsistenz. Es ist einfach so, dass es keine Turing-Maschine gibt, die das TM-Stopp-Problem lösen kann. Es ist einfach ein Satz, kein Paradoxon.

So kann es sein, dass ein Durchbruch in unserem Verständnis des Universums zu Rechenmodellen führt, die über das hinausgehen, was wir uns jetzt vorstellen können. Das einzige derartige Ereignis in einer sehr schwachen Form, das im TM-Bereich verbleibt, war möglicherweise das Quantencomputing. Abgesehen von diesem sehr schwachen Beispiel, das eher die Komplexität betrifft (wie lange dauert es?) Als die Berechenbarkeit (ist es machbar?), Bezweifle ich, dass irgendjemand auf diesem Planeten eine Ahnung hat, dass eine Berechenbarkeit über TM hinaus zu erwarten ist.

Darüber hinaus ist das Stopp-Problem eine direkte Folge der Tatsache, dass Turing-Maschinen durch einen endlichen Text, eine Folge von Symbolen, beschreibbar sind. Dies gilt tatsächlich für unser gesamtes Wissen (soweit wir wissen), und deshalb sind Sprache und Bücher so wichtig. Dies gilt für alle unsere Techniken zur Beschreibung von Beweisen und Berechnungen.

Selbst wenn wir einen Weg finden würden, die Art und Weise zu erweitern, wie wir rechnen, sagen wir mit den T + -Maschinen. Entweder würde es bedeuten, dass wir einen Weg gefunden haben, Wissen auszudrücken, das über das Schreiben eines endlichen Dokuments hinausgeht. In diesem Fall fällt das Ganze aus meiner Zuständigkeit (ich behaupte, absolute Inkompetenz) und wahrscheinlich aus der eines anderen. Oder es wäre immer noch in endlichen Dokumenten ausdrückbar. In diesem Fall hätte es ein eigenes Problem mit dem Anhalten von T + -Maschinen. Und Sie würden die Frage erneut stellen.

Tatsächlich existiert diese Situation umgekehrt. Einige Maschinentypen sind schwächer als Turing-Maschinen, z. B. Linear Bounded Automata (LBA). Sie sind zwar ziemlich leistungsfähig, aber es kann genau wie bei TM gezeigt werden, dass LBA das Halteproblem für LBA nicht lösen kann. Aber TM kann es für LBA lösen.

Schließlich können Sie sich leistungsfähigere Rechenmodelle vorstellen, indem Sie Orakel einführen. Dies sind Geräte, die Antworten auf bestimmte Probleme geben können und von einem TM für Antworten aufgerufen werden können, die jedoch physisch leider nicht existieren. Ein solches Orakel-erweitertes TM ist ein Beispiel für die T + -Maschine, die ich oben betrachtet habe. Einige von ihnen können das TM-Halteproblem lösen (abstrahiert, nicht wirklich), aber sie können ihr eigenes Halteproblem nicht lösen, auch nicht abstrahiert.

Nun, Sie können immer eine Turing-Maschine in Betracht ziehen, die mit einem Orakel für das gewöhnliche Problem des Anhaltens der Turing-Maschine ausgestattet ist. Das heißt, Ihre neue Maschine verfügt über ein spezielles Band, auf das Sie die Beschreibung einer normalen Turing-Maschine und deren Eingabe schreiben und fragen können, ob diese Maschine bei dieser Eingabe anhält. In einem einzigen Schritt erhalten Sie eine Antwort, mit der Sie weitere Berechnungen durchführen können. (Es spielt keine Rolle, ob es sich um einen einzelnen Schritt handelt oder nicht: Es würde ausreichen, wenn garantiert würde, dass er sich in einer endlichen Anzahl von Schritten befindet.)

Bei diesem Ansatz gibt es jedoch zwei Probleme.

1. Mit einem solchen Orakel ausgestattete Turing-Maschinen können ihr eigenes Stopp-Problem nicht entscheiden: Der Beweis von Turing für die Unentscheidbarkeit des gewöhnlichen Stopp-Problems kann leicht an diese neue Einstellung angepasst werden. Tatsächlich gibt es eine unendliche Hierarchie, die als "Turing-Grade" bezeichnet wird und dadurch entsteht, dass die nächste Hierarchieebene ein Orakel für das Stopp-Problem der vorherigen Ebene darstellt.

2. Niemand hat jemals vorgeschlagen, wie ein solches Orakel physisch umgesetzt werden könnte. Es ist alles sehr gut als theoretisches Gerät, aber niemand hat eine Ahnung, wie man eines baut.

Beachten Sie auch, dass ZFC in gewissem Sinne schwächer als die naive Mengenlehre und nicht stärker ist. ZFC kann Russells Paradoxon nicht ausdrücken, wohingegen naive Mengenlehre dies kann. Eine bessere Analogie wäre daher die Frage, ob das Problem des Anhaltens für schwächere Rechenmodelle als Turing-Maschinen entscheidbar ist. Zum Beispiel ist das Halteproblem für deterministische endliche Automaten (DFAs) entscheidbar, da DFAs für jede Eingabe garantiert angehalten werden.

Warnung: Eine philosophische / nicht strenge Antwort

Das könnte ein bisschen "philosophisch" werden, aber ich denke, es passt zum Geist Ihrer Frage.

Eine nicht wiederholbare Maschine

Ein Eckpfeiler des Beweises für das Stopp-Problem ist, dass sich eine Turing-Maschine wie eine Funktion verhält: Für den gleichen Eingang gibt es immer den gleichen Ausgang. Wenn Sie diese Eigenschaft entfernen, müssen Sie sich nicht mit dem "allgemeinen" Problem des Anhaltens befassen, da der Computer seine eigenen Eigenschaften erkennen kann. Sie verlieren aber auch viele der wünschenswerten theoretischen Eigenschaften einer solchen Maschine.

Eigenschaften entfernen

Es ist ein bisschen so, als würde man von der Mengen- zur Kategorietheorie übergehen: Man verliert einige der "Paradoxone", indem man die Grenzen verliert. Das Ergebnis ist jedoch viel schwieriger zu handhaben.

In diesem Fall heißt das: Sie hätten keine Ahnung, ob die Maschine Ihnen das "richtige" Ergebnis präsentiert. Sobald Sie immer entscheiden können, welches Ergebnis richtig ist, müssen Sie sich mit einer Art "Stillstandsproblem" befassen, indem Sie die Maschine auf sich selbst anwenden und einen Widerspruch konstruieren. Eine solche Maschine wäre also wahrscheinlich nicht sehr nützlich.

Das Halteproblem wurde nicht formuliert, um die Beschränkungen von Turingmaschinen auszudrücken, sondern um eine Beschränkung aller Logiksysteme auszudrücken , die unter Verwendung einer endlichen Anzahl von Symbolen ausgedrückt werden können. Sobald ein Logiksystem die Fähigkeit hat, Lösungen für Probleme bestimmter Komplexität auszudrücken, kann es auch Probleme ausdrücken, die es nicht lösen kann. Jede Erweiterung eines Logiksystems, die ausreicht, um Lösungen für alle Probleme auszudrücken, die es zuvor nicht lösen konnte, beinhaltet auch die Fähigkeit, neue Probleme auszudrücken, die es nicht lösen kann.

Bei einer bestimmten "Enhanced Turing Machine" -Spezifikation wäre es möglich, eine "Super-Enhanced Turing Machine" anzugeben, die ein Programm für das ETM untersuchen und melden könnte, ob es anhalten würde, aber das SETM könnte nur Programme für analysieren das ETM - es wäre nicht in der Lage, SETM-Programme zu analysieren. Es gibt keine Möglichkeit, eine Maschine zu definieren, die Programme für sich selbst analysieren und feststellen kann, ob sie anhalten, da durch das Hinzufügen neuer Funktionen neue Anforderungen für einen Selbstanalysator entstehen, und es gibt keine Möglichkeit, die Funktionen an die Anforderungen anzupassen .

Solche Maschinen wurden ins Auge gefasst und werden Super-Turing- Maschinen genannt. Es gibt mehrere Hauptklassen von Super-Turing-Maschinen

• Reelle Zahlenmaschinen (zB analoge Computer)
• Turing-Maschinen haben unendlich viel Zeit
• Nichtdeterministische Turingmaschine

Nicht alle Super-Turing-Maschinen können das Stopp-Problem lösen (insbesondere nicht deterministische Turing-Maschinen nicht). Die konzeptionellen Maschinen wurden jedoch zumindest in Gedankenexperimenten geschaffen.