Aktualisieren eines MST

Bei einem ungerichteten, verbundenen, gewichteten Diagramm $G = (V,E,w)$ wo $w$ ist die Gewichtsfunktion $w: E \to \mathbb{R}$ und ein Minimum Spanning Tree (MST) $T$ von $G$.
Jetzt verringern wir das Gewicht um$k$ einer Kante $e$das gehört nicht dazu$T$.

So aktualisieren Sie effizient $T$ um es zu einem MST zu machen (bezeichnet $T'$) von $G'=(V,E,w')$, wo $w'$ ist das gleiche wie $w$ außer dass $w'(e) = w(e) - k$?

Der Algorithmus zum Aktualisieren$T$ zu $T'$ ist einfach: Hinzufügen $e$ zu $T$ erstellt einen Zyklus $C$ im $T$. Lassen$e'$ eine maximal gewichtete Kante im Zyklus sein $C$. Wenn$w(e') > w’(e)$, dann $T' = T \cup \{e\} - \{e'\}$ist der MST wie gewünscht. Andernfalls,$T' = T$.

Ich habe Schwierigkeiten, seine Richtigkeit durch Widerspruch zu beweisen . Annehmen$T''$ ist ein Spannbaum von $G'$ und $w'(T'') < w'(T')$.

• $e \notin T''$: wir haben $w(T'') = w'(T'') < w'(T') \le w(T)$. Widerspricht der Tatsache, dass$T$ ist ein MST von $G$.
• $e \in T''$: Ich stecke hier fest.

Zwei Anmerkungen:

• Die hier akzeptierte Antwort auf dieselbe Frage ist zu allgemein, als dass ich ihr folgen könnte.

• Ich bevorzuge Beweise, die nicht auf konkreten MST-Algorithmen beruhen, wie die Algorithmen von Kruskal und Prim. Sie müssen dies jedoch nicht durch Widerspruch beweisen oder die beiden Fälle trennen$e \notin T''$ und $e \in T''$ wie ich es tat.

Lassen $T$ ein Minimum Spanning Tree von sein $G$. Lassen$e$ Sei der Rand, den wir modifizieren, um ihn zu bekommen $G'$, und lass $T'$sei der nach dem Algorithmus berechnete Baum. Wir kennen das Gewicht von$T'$ ist kleiner oder gleich dem Gewicht von $T$.

Zuerst, $T'$ ist ein Baum - wir erstellen genau einen Zyklus im Algorithmus und brechen ihn auf, sodass wir keine Zyklen haben $T'$.

Zweitens $T'$ist ein Spannbaum von$G'$. Lassen$e'$ die Kante entfernt werden und $e''$ sei die Kante, die im Algorithmus hinzugefügt wird (wir haben entweder $e'' = e'$ oder $e'' = e$). Um ein Spanning Tree zu sein, müssen wir einen Pfad zwischen jedem Scheitelpunktpaar haben$u$, $v$ mit nur Kanten von $T'$. Angenommen, das in$T$ (was definitiv ein Spannbaum ist), der Weg von $u$ zu $v$ nicht beteiligt $e'$, dann existiert der gleiche Pfad in $T'$. Angenommen, es wurde verwendet$e'$, dann gibt es einen Weg (ohne Verlust der Allgemeinheit) von $u$ zu einem Endpunkt von $e'$ und vom anderen Endpunkt von $e'$ zu $v$. Es gibt auch einen Pfad von einem Endpunkt von$e'$ zum anderen Endpunkt über $e''$ (rund um den Zyklus), alle innerhalb $T'$. Dann können wir einen Pfad aus konstruieren$u$ zu $v$ über $e''$ im $T'$ durch Zusammenführen dieser drei Pfade und Entfernen der Überlappung (obwohl ein Spaziergang für die Konnektivität ausreicht).

Nun, der wichtige Teil, wir möchten das beweisen $T'$ist ein minimaler Spannbaum für$G'$.

Fall 1 : Der Algorithmus fügt nicht hinzu$e$zum Baum. In diesem Fall$T' = T$. Angenommen, es gibt einen minimalen Spannbaum$H$ zum $G'$ das ist anders als $T'$. Wenn$H$ hat das gleiche Gewicht wie $T'$, Wir sind fertig. Nehmen wir nun für den Widerspruch an, dass das Gewicht von$H$ ist weniger als das Gewicht von $T'$. Es muss eine Kante geben$e'$ des niedrigsten Gewichts, das in ist $H$ aber nicht in $T'$ (Es muss eine Kante geben, die es sonst besser macht $G$ wäre nicht von geringerem Gewicht als $T'$Außerdem können wir davon ausgehen, dass die Kante, die besser abschneidet, die Kante mit dem niedrigsten Gewicht ist, die nicht vorhanden ist $T'$ - Wir können jeden nehmen $H'$ das ist ein Baum mit geringerem Gewicht als $T'$ und schauen Sie sich den Kandidaten für $e'$, wenn es nicht kleiner als eine Kante in seinem Zyklus ist, dann auch nicht $H'$ ist kein MST, oder wir können ein neues erstellen $H'$ wo wir die tauschen $e'$ für einen Rand von $T'$Dieser Prozess muss mit einer Kante enden $e'$ welches die Eigenschaft hat, dass es die Kante ist, die es besser macht).

1. Wenn $e' \neq e$Betrachten Sie dann den Baum, der durch Hinzufügen erhalten wurde $e'$ zu $T$ (Beachten Sie nicht $T'$) und Entfernen der höchsten Gewichtskante des gebildeten Zyklus. Dieser neue Baum hat ein geringeres Gewicht als das von$T$ und ist ein Spannbaum für $G$im Widerspruch zu der Tatsache, dass $T$ ist ein MST für $G$ - Wir wissen also, dass dies nicht passieren kann.
2. Wenn $e' = e$Betrachten Sie den Zyklus, der durch Hinzufügen gebildet wird $e' = e$ zu $T'$(dh derjenige, den der Algorithmus berücksichtigt). Alle anderen Kanten im Zyklus haben ein geringeres Gewicht als$e'$ (sonst hätte der Algorithmus enthalten $e$ als Kante) und muss daher in sein $H$ (wie $e'$ ist die Kante mit dem niedrigsten Gewicht, die noch nicht vorhanden ist $T'$), aber dann $H$ muss einen Zyklus enthalten, ist also kein Baum und wir haben einen Widerspruch.

Fall 2 : Der Algorithmus fügt hinzu$e$ zu $T'$. Lassen$x$ sei der Rand in $T$ das wird vom Algorithmus entfernt (und damit nicht in $T'$) Nehmen wir wieder an, wir haben eine andere MST $H$wie vorher. Wenn das Gewicht gleich ist, freuen wir uns. Nehmen Sie also für den Widerspruch an, dass$H$ hat ein geringeres Gewicht und wie zuvor $e'$ ist die niedrigste Gewichtskante in $H$ das ist nicht in $T'$. Wir können ähnliche Argumente wie zuvor mit vorbringen$x$.

1. Wenn $e' \neq x$, (beachte auch das $e' \neq e$), dann können wir uns verbessern $T$ wie zuvor, aber das wissen wir $T$ ist ein MST und erinnert an die Eigenschaft, die wir annehmen können $e'$ hat ein geringeres Gewicht als mindestens eine Kante in dem Zyklus, den seine Addition induziert, dies ergibt einen Widerspruch und $H$ kann nicht existieren.
2. Wenn $e' = x$, dann wieder $e'$ muss daher ein höheres Gewicht haben als alle anderen Kanten im Zyklus $H$ muss alle diese Kanten enthalten und $H$ ist kein Baum, und wir leiten einen Widerspruch her.

In jedem Fall leiten wir also einen Widerspruch ab, daher kann es keinen Spannbaum mit geringerem Gewicht geben $T'$daher $T'$ ist ein minimaler Spannbaum für $G'$.

Let $S$ be a spanning tree of an edge-weighted graph $G$. We call $S$ a local-minimum spanning tree of $G$ if for any edge $e$ not in $S$, $e$ is a heaviest edge in the cycle created when we add $e$ to $S$.

Let me introduce a theorem about minimum spanning tree (MST).

A spanning tree is an MST if and only if it is a local-minimum spanning tree.

A proof of the above theorem by the OP herself/himself does not rely on any concrete MST algorithm.

In another proof of the above theorem but stated differently, you can also read the reason why such a spanning tree is called "local-minimum".

The above theorem enables us to verify an MST edge by edge although MST is defined with respect to all edges together.

Once we are armed with the above theorem, it becomes easy to prove the correctness of the algorithm in the question. It should be, in fact, easier to construct a proof by yourself than reading the rigorous proof below.

A simple proof of the algorithm in the question

Let us reuse all notations in OP's definition of the algorithm.

Note that $T$ is a local-minimum spanning tree of $G$. To prove $T'$ is an MST of $G'$, we will show $T'$ is a local-minimum spanning tree of $G'$. There are two cases.

• when $w(e')\leq w'(e)$ and $T'=T$.

  Since the only difference between $T$ in $G$ and $T'$ in $G'$ is the weight of edge $e$, we need to check $e$ only. Since $e'$ is a heaviest edge in $C$ with $w$, the condition $w'(e) \geq w(e')$ means that $e$ is a heaviest edge in $C$ with $w'$. We are done in this case.

• when $w(e')\gt w'(e)$ and $T' = T \cup \{e\} - \{e'\}$.

  1. Let us consider $e'$. The cycle created when we add $e'$ to $T'$ is also $C$. Since $e'$ is a heaviest edge in $C$ with $w$, the new weight of $e$, $w'(e) \lt w(e')$ means that $e'$ remains a heaviest edge in $C$ with $w'$.
  2. Now let $f\neq e'$ be an edge not in $T'$. Let $D$ be the cycle created when we add $f$ to $T$. Since $T$ is an MST of $G$, $\,f$ is a heaviest edge in $D$ with $w$.
     • If $e'\notin D$, $D$ is also the cycle created when we add $f$ to $T'$. As $w$ and $w'$ are the same on $D$, $\,f$ remains a heaviest edge in $D$ with $w'$.
     • Now suppose $e'\in D$. If we replace $e'$ with all edges in $C$ other than $e'$, we get from $D$ a new cycle $D'$, which is the cycle created when we add $f$ to $T'$. Since $e'$ is a heaviest edge in $C$ with $w$, $f$ remains a heaviest edge in $D'$ with $w$. Since the only difference between $w$ and $w'$ is their values on $e$, for which we have $w'(e) \lt w(e') \leq w(f) = w'(f)$, we see that $f$ remains a heaviest edge in $D'$ with $w'$.
  3. Combining step 1 and 2, we are done in this case.

Note that both the algorithm and the proof above work well regardless whether the weight of $e$ is decreased, intact or increased.

On the equal weights of edges

It is a common practice to assume distinct weights of all edges for the sake of clearer exposition. However, this post works well with possibly equal edge-weights. In particular, we have been referring to "a heaviest edge" but never "the heaviest edge".