Lemma- und AC0-Reduzierungen zwischen SAT-Problemen umschalten

Gab es Bemühungen zu zeigen (unter Verwendung des Switching Lemma), dass SAT oder 3SAT keine AC Reduktion auf 2SAT haben können? Was sind die Probleme oder Schwierigkeiten? $^0$

SAT und 3SAT sind für NP vollständig , und 2SAT ist für NL unter AC Reduzierungen vollständig . Daher würde ein solcher Beweis NP von NL trennen . $^0$

Bei einer Reduzierung von 3SAT auf 2SAT bei AC wird der untere Fan-In durch 3 begrenzt (zumindest vor dem ersten Umschalten). $^0$

complexity-theory satisfiability

— Martin Seymour
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sehr interessant! aber nicht genau folgen - wäre das nicht auch fast ein P ≠ L-Beweis? Das ist lange offen und wird als sehr schwer angesehen. Es gibt einige Schalt-Lemma-ähnliche Logik in von Razborov & mit vielen Folgepapieren initiierten Beweisen für die unteren Grenzen der monotonen Schaltung. ermutigen weitere Diskussion in der Theorie Salon Chat

— vzn

vzn, danke. Es wäre nur dann ein P L-Beweis, wenn P = NP und L = NL. Außerdem würde das Zeigen der Unmöglichkeit einer AC Reduktion von HornSAT auf 2SAT P von NL trennen (da HornSAT ist vollständig für P unter Logspace-Reduzierung).

\neq

$\neq$

^{0}

$^0$

— Martin Seymour

Es ist nicht wahr, dass das untere Fan-In bei 3SAT durch 3 begrenzt ist. Die AC <sup> 0 </ sup> -Reduktion erhält als Eingabe eine Codierung der 3SAT-Formel (einer bestimmten Größe). Andernfalls kann es sich um eine beliebige Schaltung handeln. Vielleicht interpretieren Sie das Schalt-Lemma falsch.

— Yuval Filmus

Yuval - ok, ich verstehe dich jetzt über das untere Fan-In.

— Martin Seymour

Antworten:

Es ist schwer zu erkennen, wie Sie die Tatsache nutzen würden, dass das Ziel der Reduzierung 2SAT ist und nicht beispielsweise 3SAT.

Die übliche Art, das Schalt-Lemma anzuwenden, ist ungefähr diese. Wenden Sie eine zufällige Einschränkung an, die alle bis auf einen Bruchteil der Eingaben für einige kleine Parameter die von den Parametern (Größe und Tiefe) der betreffenden AC ⁰ -Schaltungen abhängen . Dann wird mit konstanter Wahrscheinlichkeit die von der AC ⁰ -Schaltung berechnete Funktion konstant. $\lambda$ $\lambda$

Wendet man dies in unserem Fall haben wir festgelegt alle , aber der Eingänge, und im Gegenzug einige ist Teil der Ausgaben festgelegt. Und was jetzt? Wir wissen nichts über die Reduzierung, daher ist nicht klar, wie man einen Widerspruch erhält. Außerdem sehe ich nicht, wie Sie die Tatsache nutzen würden, dass das Zielproblem 2SAT ist, anstatt beispielsweise 3SAT. In diesem Fall kann es keinen Widerspruch geben. $\lambda n$ $\mu$

Das Schalt-Lemma ist am besten, wenn Sie eine konkrete Funktion im Auge haben und AC ^0- Untergrenzen für diese bestimmte Funktion nachweisen möchten . Eine andere, weniger typische Verwendung des Schalt-Lemmas besteht darin, einige allgemeine Eigenschaften jeder Funktion zu beweisen, die von einer AC ⁰ -Schaltung berechnet wird . Das bekannteste Beispiel ist Linial-Mansour-Nisan, das die Zerfallsrate des Fourier-Spektrums begrenzt. Es ist nicht klar, wie Sie solche Informationen in Ihrem Fall verwenden würden.

— Yuval Filmus
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Yuval, Sie haben absolut Recht. Wir können die Tatsache, dass das Zielproblem 2SAT ist, nicht nutzen. Das Ziel 2SAT oder 3SAT scheint keinen Unterschied zu machen. Enttäuschend, aber wir können anscheinend nicht viel tun.

— Martin Seymour

Ein anderer Blickwinkel auf Ihre Frage, der nicht eng / wörtlich genommen wird. Es wurde "zufällig" festgestellt, dass eine schaltlemmaähnliche Konstruktion das Herzstück eines gefeierten / sehr fortgeschrittenen Beweises in der Komplexitätstheorie ist, der eine exponentielle Untergrenze zeigt, die für ein SAT-ähnliches Problem in monotonen Schaltkreisen erforderlich ist, das ursprünglich von Razborov entdeckt wurde, der gewonnen hat der Nevanlinna-Preis für dieses Jahr. Sein erster Beweis wurde jedoch nicht in dieser Form verstanden, und es dauerte viele Jahre der erneuten Analyse mehrerer Papiere, um diesen Zusammenhang herauszustellen. Diese Bemühungen werden in diesem Artikel zusammengefasst: Monotone Komplexität durch Switching Lemma / Harnik, Raz. wie in ihrer Arbeit zitiert, ist es mit einer Neuformulierung von Berg und Ulfberg verbunden [BeUl97].

Das Schalt-Lemma und seine Umformulierungen sind daher weiterhin ein aktives Forschungsgebiet und ein grundlegendes "Mittel" zur Trennung von Komplexitätsklassen, und daher wäre es wahrscheinlich nicht ratsam, seine Verwendung in Zukunft vollständig auszuschließen (wichtig? / signifikant?). Trennungsergebnisse. Ihre Frage berührt auch P gegen L, das ebenfalls offen ist und von vielen als möglicherweise so schwierig wie P gegen NP angesehen wird (beide Fragen waren fast gleich lange offen, ungefähr 4½ Jahrzehnte). Einige Einschränkungen der Technik sind jedoch in der von Razborov / Rudich identifizierten Barriere für natürliche Beweise zu sehen .

Was 3SAT vs 2SAT betrifft, wie Sie in Ihrer Frage anfragen, ist 2SAT natürlich in P und 3SAT ist NP vollständig, so dass jede signifikante "Reduktion" wahrscheinlich auch P vs NP betreffen würde. Für Ihre NP vs NL-Idee gibt es andere aktive Forschungsbereiche, die sich mit der P vs NL-Frage befassen, z. B. diese aktuelle Analyse von Wehar, Härteergebnisse für Intersection Non Emptiness

In Bezug auf AC ⁰ -Reduktionen und ihre Auswirkungen auf (offene) Komplexitätsklassentrennungen gibt es einige Zusammenhänge, die in diesem jüngsten Durchbruchsergebnis vermerkt sind. Ein durchschnittlicher Tiefenhierarchiesatz für Boolesche Schaltungen / Rossman, Servedio, Tan (z.

Meyers Frage: Gibt es eine relativierte Welt, in der die Polynomhierarchie unendlich ist?

... um Meyers Frage zu bejahen, genügt es, für jede Konstante d ∈ auszustellen $\mathbb{N}$ eine Boolesche Funktion F _{d, die} durch eine Tiefen-d-AC ⁰ -Schaltung berechnet werden kann, so dass jede Tiefen- (d - 1) -Schaltung, die F _d berechnet, eine Superquasipolynomgröße erfordert.

— vzn
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