Nachweis der Schließung unter Ergänzung von Sprachen, die von Min-Heap-Automaten akzeptiert werden

Dies ist eine Folgefrage von dieser .

In einer früheren Frage zu exotischen Zustandsautomaten haben Alex ten Brink und Raphael die Rechenfähigkeiten einer besonderen Art von Zustandsmaschine angesprochen: Min-Heap-Automaten. Sie konnten zeigen, dass die von solchen Maschinen akzeptierte Menge von Sprachen ( ) weder eine Teilmenge noch eine Obermenge der Menge kontextfreier Sprachen ist. Angesichts der erfolgreichen Lösung und des offensichtlichen Interesses an dieser Frage stelle ich einige weitere Fragen.$HAL$

Es ist bekannt, dass die regulären Sprachen unter einer Vielzahl von Operationen geschlossen sind (wir können uns auf grundlegende Operationen wie Vereinigung, Schnittmenge, Komplement, Differenz, Verkettung, Kleene-Stern und Umkehrung beschränken), während die kontextfreien Sprachen unterschiedliche Schließungen haben Eigenschaften (diese werden unter Vereinigung, Verkettung, Kleene-Stern und Umkehrung geschlossen).

Ist HAL unter Ergänzung geschlossen?

Behauptung : ist nicht gegen Komplement geschlossen.$\mathrm{HAL}$

Beweisidee : Wir haben uns darauf geeinigt, dass (die Sprache der geraden Palindrome über einem nicht unären Alphabet) nicht in . Wir zeigen, dass . Dies funktioniert nur für Typ 1 (da Typ 2 akzeptieren kann ); Der Proof kann jedoch an Typ 2 angepasst werden, siehe unten.H A L ¯ E P A L ∈ H A L E P A L.$\mathrm{EPAL}$$\mathrm{HAL}$$\overline{\mathrm{EPAL}} \in \mathrm{HAL}$
$\mathrm{EPAL}$

Beweis : Beachten Sie das

$\qquad \displaystyle \begin{align*} \overline{\mathrm{EPAL}} &= \{vw : |v|=|w|, v\neq w^R\} \\ &\cup\ \,\{w : |w| \in 2\mathbb{N}\!+\!1\} \end{align*}$

Wir konstruieren einen Min-Heap-Automaten mit zwei Heap-Symbolen , der folgendermaßen funktioniert:$b < a$

• Entscheiden Sie im Ausgangszustand nicht deterministisch, ob die Länge der Eingabe gerade ist.
• Verwenden Sie auf dem unebenen Pfad die endliche Steuerung, um die Eingabe genau dann zu akzeptieren, wenn ihre Länge ungerade ist.
• Sie auf dem geraden Pfad folgendermaßen vor: $$\underbrace{v_1\ \dots\ \mathbf{v_{i}}}_{+a}\ \underbrace{v_{i+1}\ \dots\ v_n}_{+b}\ \underbrace{w_n\ \dots\ w_{i+1}}_{-b}\ \underbrace{\mathbf{w_i}\ \dots\ w_1}_{-a}$$
  • Fügen Sie zunächst für jedes gelesene Symbol ein zum Heap hinzu .$a$
  • Speichern Sie an einer nicht deterministisch bestimmten Position das aktuelle Symbol in endlicher Kontrolle und fügen Sie für jedes gelesene Symbol ein (und kein ) zum Heap hinzu.$b$$a$
  • Beenden Sie an einer nicht deterministisch bestimmten Position das Hinzufügen von Symbolen und verbrauchen Sie ein pro Eingabesymbol.$b$
  • Wenn alle verbraucht sind, vergleichen Sie das aktuelle Symbol mit dem in der Steuerung gespeicherten. Wenn sie ungleich sind, fahren Sie fort; Andernfalls lehnen Sie die Eingabe ab.$b$
  • Verbrauchen Sie ein pro Eingabesymbol. Wenn der Heap zur gleichen Zeit leer ist, zu der die Eingabe endet, akzeptieren Sie das Wort. anderweitig ablehnen.$a$

Der beschriebene Min-Heap-Automat akzeptiert . Wie sein Komplement, , nicht in ist haben wir den Anspruch unter Beweis gestellt.$\overline{\mathrm{EPAL}}$$\mathrm{EPAL}$$\mathrm{HAL}$

Hinweis: Der Proof kann auf die gleiche Weise mit ( in ) und dessen durchgeführt werden ergänzen. Dies erstreckt sich über dem Ergebnis auf Typ 2.$\{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$\mathrm{CSL} \setminus \mathrm{HAL}$