Die XOR-Cut-Set-Struktur und kombinatorische Designs

Wenn ein Graph und eine Teilmenge der Eckpunkte , definieren Sie = die Menge der Kanten, die einen Eckpunkt bei mit einem Eckpunkt bei .$G(V,E)$$T \subseteq V$$\mathsf{cutset}(T)$$T$$V\setminus T$

Unser Ziel ist es, so , dass wir bei jeder Menge schnell eine Kante in oder antworten können, dass leer ist. Die Struktur sollte Raumkomplexität , dh wir dürfen nicht alle Kanten behalten. Die Abfragekomplexität sollte .$G$$T$$\mathsf{cutset}(T)$$\mathsf{cutset}(T)$$\widetilde{O}(|V|)$$\widetilde{O}(|T|)$

Kapron et al. Schlagen die folgende saubere Lösung vor, die funktioniert, wenn die Größe jedes Cutset höchstens 1 beträgt.

Geben Sie jeder Kante eine eindeutige Nummer. Für jeden Scheitelpunkt , halten - das binäre XOR der Zahlen aller Kanten benachbart ist. Berechnen einer Abfrage für - das binäre XOR aller Eckpunkte in T. Jede Kante, die innerhalb von (dh beide Endpunkte innerhalb von ), wird zweimal XOR-verknüpft und ist daher nicht in enthalten . Also, ist eigentlich eine XOR aller Kanten in .$v$$\mathsf{xor}(v)$$T$$\mathsf{xor}(T)$$T$$T$$\mathsf{xor}(T)$$\mathsf{xor}(T)$$\mathsf{cutset}(T)$

Wenn die Größe jedes Cutset höchstens 1 beträgt, gibt es zwei Optionen: entweder , was bedeutet, dass leer ist, oder ist die Nummer der einzelnen Kante in .$\mathsf{xor}(T)=0$$\mathsf{cutset}(T)$$\mathsf{xor}(T)$$\mathsf{cutset}(T)$

Die Autoren beschreiben dann eine komplexe, zufällige Struktur, um den Fall zu behandeln, in dem mehr als eine einzelne Kante enthält.$\mathsf{cutset}(T)$

Aber zum Schluss sagen sie:

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass die hier beschriebene Technik mit einem zusätzlichen -Faktor in der Aktualisierungszeit deterministisch gemacht werden kann , wenn wir wissen, dass die Schnitte eine Größe von nicht mehr als , indem kombinatorische verwendet werden Designs ".$\widetilde{O}(k)$$k$

Leider scheint mir das schwierig zu sein ... Ich verstehe nicht: Wie können kombinatorische Designs verwendet werden, um das Problem zu lösen, wenn die Größe aller Schnittsätze höchstens beträgt ?$k$

Sie können einen linearen Code mit einem Abstand von etwa . Die Paritätsprüfungsmatrix des Codes hat die Eigenschaft, dass das XOR eines Satzes von höchstens Spalten ungleich Null ist. Dies bedeutet insbesondere, dass Sie bei einem XOR von höchstens Spalten bestimmen können (nicht unbedingt effizient), wie viele Spalten XOR-verknüpft wurden (da Sie, wenn Sie dies nicht könnten, einen Satz von höchstens Spalten erhalten würden, die XORs sind bis Null). Die Kosten für diese Codierung sind die Anzahl der Zeilen der Paritätsprüfmatrix. Wenn Sie die Parameter richtig und einen effizient decodierbaren Code auswählen (denken Sie daran, dass die Paritätsprüfungsmatrix eines Codes die Generatormatrix seines Duals ist), erhalten Sie wahrscheinlich die in der Bemerkung angegebene Schlussfolgerung.$2k$$2k-1$$k$$2k-1$