Was wissen wir über NP ∩ co-NP und seine Beziehung zu NPI?

Ein TA ist heute vorbeigekommen, um sich über NP und Co-NP zu erkundigen. Wir kamen an einem Punkt an, an dem ich ebenfalls ratlos war: Wie sieht ein Venn-Diagramm von P, NPI, NP und Co-NP aus, wenn P ≠ NP angenommen wird (der andere Fall ist langweilig)?

Es scheint vier grundlegende Optionen zu geben.

1. NP ∩ co-NP = P.

   Insbesondere ist co-NPI ∩ NPI = ∅

2. NP ≤ co-NP = P ≤ NPI

   Insbesondere Co-NPI = NPI?

3. NP ∩ Co-NP ⊃ P ∪ NPI ∪ Co-NPI

   Eine Folgefrage in diesem Fall ist, wie NPC und Co-NPC zusammenhängen. Gibt es eine Überlappung?

4. Etwas anderes, das heißt, einige Probleme von NPI sind in Co-NP und andere nicht.

Wissen wir, was richtig ist oder was zumindest nicht wahr sein kann?

Die Einträge im Komplexitätszoo für NPI und NP ∩ co-NP wecken nicht viel Hoffnung, dass etwas bekannt ist, aber ich beherrsche die Komplexitätstheorie nicht fließend genug, um alle anderen Klassen (und ihre Auswirkungen auf diese Frage) zu verstehen, die dort herumschwirren .

Die Tatsache, dass P ≠ NP ist, schließt die Möglichkeit nicht aus, dass NP = co-NP ist. In diesem Fall ist NP ∩ co-NP = NP. Um die Diskussion voranzutreiben, nehmen wir an, dass NP ≠ co-NP ist. In diesem Fall zeigt Korollar 9 in Schönings Ein einheitlicher Ansatz zum Erhalten von Diagonalsätzen in Komplexitätsklassen , dass es in NP eine Sprache gibt - co-NP, die NP-intermediär ist. NPI enthält also streng (NP ∩ co-NP) - P (beachten Sie, dass jede Sprache in NP ∩ co-NP in P ∪ NPI ist). Dies ist Ihre Option (4).

Zusammenfassend ergibt sich unter der Annahme von P ≠ NP und NP ≠ co-NP Folgendes:

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