Gibt es Dinge, die ein analoger Computer nicht kann, was digitales Rechnen nicht kann?

Der Kern des Unterschieds zwischen analogem und digitalem Computing liegt in der Anzahl der verfügbaren Präzisionsbits, oder? Jetzt weiß ich, dass in der Turing-Maschine Zahlen mit beliebiger Genauigkeit gespeichert werden können, da das Speichermedium ein unendliches Band ist.

In der realen Welt werden physikalische Größen wie Energie oder Position jedoch nicht in diskreten Stücken inkrementiert, sondern in ihrer Binärzahl. Stattdessen können ihre genauen Werte kontinuierlich variieren, wie dies bei analogen Schaltungen der Fall ist.

Gibt es auf dieser Grundlage also Dinge, die ein analoger Computer grundsätzlich nicht kann, was digitales Rechnen nicht kann?

Digitale Computer sind auch analog, wenn Sie alle Abstraktionsebenen herunterfahren, bis Sie elektrische Schaltkreise erreichen. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir uns dafür entscheiden, wie bei einer Art Gitter zu "schneiden", in welchen Ebenen erkennbarer analoger Signalverschiebungen wir eine weitere neue Abstraktionsebene erstellen, die wir ein Bit oder ein Byte nennen.

Alles, was ein analoger Computer berechnet, wie zum Beispiel das Ausgangssignal eines analogen Filters oder die Anzahl der Millimeter, um die sich eine Masse in einem Feder- und Dämpfersystem bewegt, erreicht schließlich auch eine maximale Auflösung. Dies liegt zum Beispiel an Rauschen in Detektoren, Fehlern in Messgeräten und möglicherweise an Quantenphänomenen, obwohl ich nicht so sicher bin, wie das funktionieren würde. Wenn Sie ein Bit als dieses sehr kleine Informationsvolumen definieren, erhalten Sie eine digitale Abstraktion für die Ausgabe Ihres analogen Computers.

Mit anderen Worten, wenn Sie eine formale Abstraktion eines digitalen Computers verwenden, bei der Sie eine ausreichende Auflösung für Ihre Berechnungen erzielen können, können Sie dieselbe berechnen, die ein vergleichbarer realer analoger Computer für dieses Problem berechnet.

Das gleiche Problem tritt beim Digitalisieren der Zeit auf. Wenn Sie sich beispielsweise mit analogen und digitalen Filteräquivalenzen befassen, tritt beim Digitalisieren eines analogen Filters immer ein Fehler auf. Dieser Fehler tendiert zu 0, wenn der Zeitschritt, der für die Diskretisierung des kontinuierlichen Systems verwendet wird, kleiner wird.

In gewisser Hinsicht lautet die Antwort: Ja, es gibt Dinge, die analoge Computer können, die digitale Computer nicht können. Hava Siegelmann hat zum Beispiel mehrere Klassen abstrakter analoger Maschinen untersucht (ähnlich wie TMs abstrakte digitale Maschinen sind), die als wiederkehrende neuronale Netze (RNNs) bekannt sind, und hat gezeigt, dass bestimmte dieser Maschinen beispielsweise entscheiden können jede Sprache der Bitstrings. Dies kann natürlich nicht über Turing-Maschinen gesagt werden, daher sind diese RNNs strikt leistungsfähiger als TMs. Für weitere Informationen folgen Sie dem Link und sehen Sie sich ihre Veröffentlichungen an.