Lösen

Einführung in Algorithmen , 3. Ausgabe (S. 95) enthält ein Beispiel für die Lösung der Wiederholung

T (n) = 3 T (\frac{n}{4}) + n \cdot \log (n)

$\displaystyle T(n)= 3T\left(\frac{n}{4}\right) + n\cdot \log(n)$

durch Anwendung des Hauptsatzes.

Ich bin sehr verwirrt darüber, wie es gemacht wird. Also, erste Schritt besteht darin, mit . $a=3, b=4, f(n) = n\cdot \log(n)$
$n^{\log_b a} = n^{\log_4 3}= O(n^{0.793})$ $f(n)$

Ich habe keine Ahnung, wie sie das verglichen haben. Das Buch erklärt:

$f(n) = \Omega (n^{\log_4 3+\epsilon })$ , wobei , Fall 3 gilt, wenn wir zeigen können, dass die Regelmäßigkeitsbedingung für $\epsilon \approx 0.2$ $f(n).$

Gefolgt von:

Für ausreichend großes n gilt Folgendes: $af\left(\frac{n}{b}\right) = 3\left(\frac{n}{4}\right)\log\left(\frac{n}{5}\right) \le\left(\frac{3}{4}\right)n \log n = cf(n)~ for~ c=\frac{3}{4}.$

Woher kommt ? $3\left(\frac{n}{4}\right)$

— Newprint
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Wenn unsere Wiederholung die Form , müssen wir, um den "dritten Fall" der Master-Methode zu verwenden, den folgenden Halt haben: $T(n) = aT(n/b) + f(n)$

$f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$ für einige und wenn für eine Konstante und alle ausreichend groß dann ist $\epsilon > 0$ $a f(n/b) \leq c f(n)$ $c < 1$ $n$ $T(n) = \Theta(f(n))$

Unsere Wiederholung ist definiert als

T (n) = 3 T (n / 4) + n \log n .

$T(n) = 3T(n/4) + n \log n.$

Per Definition haben wir . $a = 3, b = 4, f(n) = n \log n$

Wir müssen nun zeigen, dass polynomiell größer als . Das ist der Teil " " von oben. Durch Definieren von erreicht. Der Grund dafür ist, dass und . $f(n)$ $n^{\log_b a}$ $f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$ $\epsilon \approx 0.2$ $\log_4 3 \approx 0.793$ $f(n) = \Omega(n^{0.793 + \epsilon})$

Wir müssen zeigen, dass die Regelmäßigkeitsbedingung erfüllt. Das ist der Teil " für eine Konstante und alle ausreichend großen ". $f(n)$ $a f(n/b) \leq c f(n)$ $c < 1$ $n$

Wir stecken einfach unsere Werte von , um zu erhalten:Wir haben nur das " " in und " " eingesteckt. $a,b$

a f (n / b) = 3 (n / 4) \log (n / 4) .

$a f(n/b) = 3(n/4) \log (n/4).$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

n / 4

$n/4$

Um dies besser sichtbar zu machen, sei und beobachte, dass . Wenn wir mit tauschen, haben wir wobei . $k = n/4$ $a f(k) = a k \log k$ $k$ $n/4$

3 (n / 4) \log (n / 4) \leq (3 / 4) n \log n = c f (n)

$3(n/4) \log (n/4) \leq (3/4)n \log n = c f(n)$

c = 3 / 4

$c = 3/4$

Damit sind unsere notwendigen Anforderungen erfüllt und wir haben . $T(n) = \Theta(n \log n)$

— Nicholas Mancuso
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Also ist polynomisch als ? Ich habe wahrscheinlich die Bedeutung von "polynomial" falsch verstanden

n^{0.793}

$n^{0.793}$

\leq

$\leq$

n^{1} \log n

$n^{1}\log n$

— Newprint

Das Polynom ist in diesem Fall .

n^{1 - 0.793} = n^{0.217}

$n^{1-0.793} = n^{0.217}$

— JeffE

@newprint Polynomial größer bedeutet nur, dass der Unterschied zwischen den beiden mindestens eine (möglicherweise gebrochene) Potenz von , nicht irgendeine kleinere Funktion wie . Insbesondere ist es genau die Bedingung für den "dritten Fall", dass

n

$n$

(\log n)

$(\log n)$

f (n) = Ω (n^{\log_{b} n} \cdot n^{ϵ})

$f(n) = \Omega(n^{\log_b n} \cdot n^\epsilon)$ . Es ist das Extra

n^{ϵ}

$n^\epsilon$ Faktor, der es polynomial größer macht. Und wie JeffE in diesem Fall betonte,

ϵ = .217

$\epsilon = .217$ .

— Joe

Könnten wir gewählt haben

ϵ = 0.00000001

$\epsilon = 0.00000001$ ? So weit ich das verstehe

f (n)

$f(n)$ ist schon

Ω (n^{0.793})

$\Omega(n^{0.793})$ Warum müssen wir also hinzufügen?

0.2

$0.2$ ?

— Yos

Ist Big Omega nicht eine Untergrenze für die Laufzeit, so dass "asymptotocial gleich oder größer als" statt "polynomial größer als ..." sein sollte?

— mLstudent33