Bekannte Facetten des Travelling Salesman Problem Polytops

Für die Branch-and-Cut-Methode ist es wichtig, viele Facetten der durch das Problem erzeugten Polytope zu kennen. Derzeit ist es jedoch eines der schwierigsten Probleme, tatsächlich alle Facetten solcher Polytope zu berechnen, da sie schnell an Größe zunehmen.

Für ein beliebiges Optimierungsproblem ist das Polytop, das beim Verzweigen und Schneiden oder auch beim Schneiden von Ebenen verwendet wird, die konvexe Hülle aller möglichen Scheitelpunkte. Ein Scheitelpunkt ist eine Zuordnung aller Variablen des Modells. Als (sehr einfaches) Beispiel: Wenn man $2\cdot x+y$ st $x+y \leq 1$ und maximieren würde dann die Eckpunkte , und sind mögliche Eckpunkte. verletzt die Ungleichung $0\leq x,y\leq 1.5$ $(0,0)$ $(0,1)$ $(1,0)$ $(1,1)$ $x+y\leq 1.5$ und ist daher nicht machbar. Das (kombinatorische) Optimierungsproblem wäre die Auswahl unter den möglichen Eckpunkten. (In diesem Fall ist offensichtlich das Optimum). Die konvexe Hülle dieser Eckpunkte ist das Dreieck mit genau diesen drei Eckpunkten. Die Facetten dieses einfachen Polytops sind , und . Beachten Sie, dass die Beschreibung durch Facetten genauer ist als das Modell. Bei den meisten schwierigen Problemen - wie dem TSP - übersteigt die Anzahl der Facetten die Anzahl der Modellungleichungen um mehrere Größenordnungen. $(1,0)$ $x\geq0$ $y\geq 0$ $x+y\leq 1$

In Anbetracht des Problems des Handlungsreisenden, für welche Anzahl von Knoten das Polytop vollständig bekannt ist und wie viele Facetten vorhanden sind. Wenn es nicht vollständig ist, wie hoch sind die unteren Grenzen der Anzahl der Facetten?

Ich interessiere mich besonders für die sogenannte Hamilton-Pfadformulierung des TSP:

m ich n \sum_{ich = 0}^{n - - 1} (\sum_{j = 0}^{ich - - 1} c_{ich, j} \cdot x_{ich, j} + \sum_{j = ich + 1}^{n - - 1} c_{ich, j} \cdot x_{ich, j})

$min \sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j})$ st

\forall ich \neq j :: 0 \leq x_{ich, j} \leq 1

$\forall i \neq j:\ \ 0 \leq x_{i,j}\leq 1$

\forall ich \neq j x_{ich, j} + x_{j, ich} \leq 1

$\forall i \neq j\ \ \ x_{i,j}+x_{j,i}\leq 1$

\forall j \sum_{ich = 0}^{j - - 1} x_{ich, j} + \sum_{ich = j + 1}^{n - - 1} x_{ich, j} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{i,j}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{i,j}\leq 1$

\forall j \sum_{ich = 0}^{j - - 1} x_{j, ich} + \sum_{ich = j + 1}^{n - - 1} x_{j, ich} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{j,i}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{j,i}\leq 1$

\sum_{ich = 0}^{n - - 1} (\sum_{j = 0}^{ich - - 1} x_{ich, j} + \sum_{j = ich + 1}^{n - - 1} x_{ich, j}) = n - - 1

$\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}x_{i,j})=n-1$

Wenn Sie Informationen über Polytope anderer Formulierungen des TSP haben, können Sie diese auch mitteilen.

— stefan
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Persönlich bin ich mir nicht sicher, was "Polytope eines Problems" bedeuten. Aber dann habe ich wenig Hintergrundwissen in der Komplexitätstheorie.

— Raphael

Es ist eigentlich keine Komplexitätstheorie (ich habe dieses Tag nicht markiert). Eigentlich gibt es noch kein passendes Tag für diese Art von Frage. Ein geeignetes Etikett wäre die Verzweigungs- oder Schnittebenenmethode. Ich werde einige Informationen darüber hinzufügen, über welches Polytop ich in Kürze spreche

— stefan

@ Raphael: Ich habe die Frage aktualisiert, damit Sie etwas über Facetten und Polytope lesen können.

— Stefan

n!

$n!$

{0, 1}^{n}

$\{0, 1\}^n$

2 n

$2n$

2^{n}

$2^n$

Antworten:

Für asymptotische Grenzen zeigten Fiorini, Massar, Pokutta, Tiwari und de Wolf kürzlich exponentielle Untergrenzen für die Anzahl der Facetten eines Polytops, das auf das TSP-Polytop projiziert (das TSP-Polytop ist die konvexe Hülle praktikabler TSP-Lösungen). Dies ist stärker als gewünscht und impliziert, dass selbst das Hinzufügen zusätzlicher Variablen das TSP-Polytop nicht effizient darstellbar macht.

Ihre Arbeit knüpft an die klassische Arbeit von Yannakakis aus dem Jahr 1988 an, die das gleiche Ergebnis zeigte, jedoch nur für Polytope, die eine bestimmte Symmetriebedingung erfüllen.

— Sasho Nikolov
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Danke für diesen Link! Es ist sicherlich ein beeindruckendes Ergebnis, obwohl es seltsam gewesen wäre, ein schönes (= nicht exponentiell wachsendes) Polytop für ein NP-Problem zu haben.

— Stefan

Das Überraschende ist, es beweisen zu können :)

— Sasho Nikolov

@stefan afaik ein polynomisch wachsendes Polytop für ein NP-Problem würde P = NP implizieren, wie oben in Raphael angegeben ... hat auch jemand eine Aussage / Diskussion darüber gesehen, was erforderlich wäre, um Fiorini et al. auf einen P! = NP-Beweis auszudehnen?

— vzn

Die kurze Antwort lautet, dass es sich bei dem Ergebnis um ein Rechenmodell handelt, das schwächer als polytime-gebundene TMs ist, und Sie möchten eine Version davon für ein Modell, das so stark wie P. ist, um zu beweisen, dass erweiterte Formulierungen schwächer sind als P, Rothvoss kürzlich bewiesen, dass das passende Polyop eine exponentielle Erweiterungskomplexität aufweist; Dennoch können beliebige lineare Funktionen über dem passenden Polytop entweder mit dem Edmonds-Algorithmus oder mit der Ellipsoid-Methode gelöst werden.

— Sasho Nikolov

Technisch gesehen gibt es viele Gründe, warum die Ergebnisse weit von P gegen NP entfernt sind: Die Ergebnisse beziehen sich auf eine feste Codierung von Problemlösungen als Vektoren und schließen nicht aus, dass eine cleverere Codierung Polysize-Formulierungen ermöglichen kann; Die Ergebnisse besagen auch, dass für die gegebene Codierung jede kompakte LP bei einer Zielfunktion versagt , es jedoch möglich sein könnte, unterschiedliche LPs für unterschiedliche Zielfunktionen zu verwenden. Schließlich haben wir im Wesentlichen noch keine expliziten Untergrenzen für SDPs, und dann gibt es die Ellipsoid-Methode, die LPs mit exponentieller Größe lösen kann

— Sasho Nikolov

Es gibt eine Bibliothek namens SMAPO (kurz für Bibliothek mit linearen Beschreibungen von SMAll-Probleminstanzen von POlytopen bei der kombinatorischen Optimierung) für viele Polytope, einschließlich des symmetrischen TVP sowie des grafischen TSP.

Für das STSP ist dies die Liste der Facetten für kleine Polytope

 Nodes in STSP  |  # of facets
----------------+--------------
       6        |         100
       7        |        3437
       8        |      194187
       9        |    42104442
      10        | 51043900866

— stefan
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