Problem ähnlich wie beim Packen

Rufen Sie eine Familie von Sets an $\mathcal{F} = \{S_1, \dotsc, S_k\}$ "vielfältig" wenn jeder Satz $S_i \in \mathcal{F}$hat mindestens ein eindeutiges Element. Was sind mögliche Ansätze, um die größte Vielfalt zu finden$S$ in einer Familie von Sets $\mathcal{F}$?

Ein Ansatz besteht darin, ein modifiziertes Packungsproblem zu lösen. Annehmen$\mathcal{F}=\{S_1,\dotsc,S_k\}$. Lassen$K$ eine Teilmenge von Elementen sein, $K \subset \bigcup S_i$, und lass $\mathcal{F}_{-K}=\{S_1 \setminus K,\dotsc, S_k \setminus K\}$. Dann die maximal vielfältige Menge$S$ entspricht der größten maximal eingestellten Packung aus $\mathcal{F}_{-L}$ wo $L$ ist die Menge aller nicht eindeutigen Elemente in $\mathcal{F}$.

Aber was ist eine gute Heuristik für die Auswahl $K$? Oder gibt es insgesamt bessere Ansätze?

Das Problem ist NP-vollständig. Dies schließt einen exakten Algorithmus aus, der unter allen Umständen funktioniert, schließt jedoch heuristische Algorithmen, die in der Praxis gut funktionieren, oder Approximationsalgorithmen mit nachweisbaren Approximationsgarantien nicht aus.

Die Ermäßigung beträgt 3SAT. Gegeben eine 3SAT-Instanz$\phi$ mit Variablen $x_1,\ldots,x_n$ und Klauseln $\phi_1,\ldots,\phi_m$Konstruieren Sie das folgende Mengen-System. Für jede Variable$x_i$ Es gibt zwei Sätze $A_{i,0}$ und $A_{i,1}$ und $N=n+1$ setzt $B_{i,t} = \{\beta_{i,t,0},\beta_{i,t,1}\}$und für jede Klausel $\phi_j$ Es gibt einen Satz $C_j = \{\gamma_{j,1},\gamma_{j,2},\gamma_{j,3}\}$. Der Satz$A_{i,b}$ besteht aus folgenden Elementen:

• Das $N+1$ Elemente $\alpha_i,\beta_{i,1,b},\ldots,\beta_{i,N,b}$.
• Für jede Klausel $\phi_j$ das beinhaltet $x_i$ als die $k$th wörtlich und ist nicht zufrieden mit$x_i = b$, das Element $\gamma_{j,k}$.

Man kann finden $n(N+1)+m$ verschiedene Sets genau dann, wenn $\phi$ist zufriedenstellend. In der Tat angesichts einer zufriedenstellenden Aufgabe$\vec{x}$, die Familie $\{ A_i^{x_i} : i \in [n] \} \cup \{ B_{i,t} : i \in [n], t \in [N] \} \cup \{ C_j : j \in [m] \}$ ist vielfältig: $\alpha_i$ gehört nur zu $A_i^{x_i}$, $\beta_{i,t,1-x_i}$ gehört nur zu $B_{i,t}$und wenn die $k$th wörtlich von $\phi_j$ ist dann zufrieden $\gamma_{j,k}$ gehört nur zu $C_j$.

Für das Gegenteil, nehmen wir an $\mathcal{S} = \mathcal{A} \cup \mathcal{B} \cup \mathcal{C}$ ist zumindest eine vielfältige Familie von Größe $n(N+1)+m$, partitioniert nach dem Typ des Sets. Wenn$\mathcal{A}$ enthält beides $A_{i,0}$ und $A_{i,1}$ für einige $i$, dann $B_{i,1},\ldots,B_{i,N} \notin \mathcal{B}$. Daher$|\mathcal{S}| \leq 2n + (n-1)N + m < n(N+1) + m$, was unmöglich ist. Deshalb$\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$ muss alle Sätze des entsprechenden Typs enthalten, und $\mathcal{A}$ muss enthalten $n$ Mengen, die zusammen eine Zuordnung codieren $\vec{x}$. Schon seit$C_j \in \mathcal{S}$ ist vielfältig, konstruktionsbedingt die Zuordnung $\vec{x}$ erfüllt Klausel $\phi_j$daher $\phi$ ist zufriedenstellend.