Was ist

Ich betrachte die Konstruktionsrechnung und ihren Platz im Lambda-Würfel .

Wenn ich das richtig verstehe, kann man sich vorstellen, dass jede Achse des Würfels eine weitere Operation mit Typen zum einfach typisierten Kalkül hinzufügt $\lambda_\to$. Die erste Achse fügt Typ-zu-Term-Operatoren, die zweiten Typ-zu-Typ-Operatoren und die dritte abhängige Typisierung oder Term-zu-Typ-Operatoren hinzu. Der CoC hat alle drei.

Der CoC führt jedoch einen Begriff $Prop$ und gibt an, dass $Prop : Type$ nach den Inferenzregeln , aber ansonsten nicht verwendet wird. Ich verstehe, dass es für die gleichnamigen Sätze ist, aber die logischen Sätze sind nicht in Bezug darauf definiert.

Könnten Sie mir erklären, wofür $Prop$ ist, wo / wann es erscheint, und es anhand der Achsen des Würfels erklären (falls dies tatsächlich möglich ist)?

In der traditionellen Martin-Löf-Typentheorie gibt es keinen Unterschied zwischen Typen und Sätzen. Dies steht unter dem Motto "Sätze als Typen". Aber es gibt manchmal Gründe, sie zu unterscheiden. CoC macht genau das.

Es gibt viele Varianten von CoC, aber die meisten hätten aber nicht T y p e : P r o p . Ein weiterer Unterschied zeigt sich, wenn wir unendlich viele Typuniversen haben und P r o p improvisieren (dies ist, was Coq tut). Betrachten Sie konkret eine Variante von CoC, bei der wir P r o p und unendlich viele Typuniversen T y p e 1 , T y p

$$\mathsf{Prop} : \mathsf{Type}$$ $\mathsf{Type} : \mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$ , T y p e 3 mit P r o $\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Type}_3$ Die Bildungsregel für∏muss erklären, wie∏x gebildet wird:AB(x),wennAentweder ein Satz oder ein Typ ist undB(x)entweder ein Satz oder ein Typ ist. Es gibt vier Kombinationen: $$\begin{align*} \mathsf{Prop} &: \mathsf{Type}_1 \\ \mathsf{Type}_1 &: \mathsf{Type}_2 \\ \mathsf{Type}_2 &: \mathsf{Type}_3 \\ &\vdots \end{align*}$$ $\prod$$\prod_{x : A} B(x)$$A$$B(x)$

1. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
2. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
3. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_i} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_i}$$
4. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_j} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_{\max(i,j)}}$$

The most interesting is the difference between the second and the fourth case. The fourth rules says that if $A$ is in the $i$-th universe and $B(x)$ is in the $j$-th universe, then the product is in the $\max(i,j)$-th universe. But the second rule is telling us that $\mathsf{Prop}$ is not just "one more universe at the bottom", because $\prod_{x : A} B(x)$ lands in $\mathsf{Prop}$ as soon as $B(x)$ does, no matter how big $A$ is. This is impredicative because it allows us to define elements of $\mathsf{Prop}$ by quantifying over $\mathsf{Prop}$ itself.

A concrete example would be

$$\prod_{A : \mathsf{Type}_1} A \to A$$ versus $$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$$ The first product lives in $\mathsf{Type}_2$, but the second one is in $\mathsf{Prop}$ (and not in $\mathsf{Type}_1$, even though we are quantifying over an element of $\mathsf{Type}_1$). In particular, this means that one of the possible values for $A$ is $\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$ itself.