Ist die Karp-Reduktion identisch mit der Levin-Reduktion?

Definition: Karp-Reduktion

Eine Sprache $A$ ist Karp reduzierbar auf eine Sprache $B$ , wenn es eine Polynom-berechenbare Funktion ist $f:\{0,1\}^*\rightarrow\{0,1\}^*$ so dass für jeden $x$ , $x\in A$ , wenn und nur wenn $f(x)\in B$ .

Definition: Levinreduktion

Ein Suchproblem $V_A$ ist Levin auf ein Suchproblem reduzierbaren $V_B$ , wenn es Polynomzeit Funktion ist $f$ die Karp reduziert $L(V_A)$ bis $L(V_B)$ , und es gibt Polynom-berechenbare Funktionen $g$ und $h$ , so dass

1. $\langle x, y \rangle \in V_A \implies \langle f(x), g(x,y) \rangle \in V_B$ ,

2. $\langle f(x), z \rangle \in V_B \implies \langle x, h(x,z) \rangle \in V_A$

Sind diese Ermäßigungen gleichwertig?

Ich denke, die beiden Definitionen sind gleichwertig. Für zwei beliebige N P Sprachen A und B , wenn A ist Karp reduzierbar auf B , dann A ist Levin reduzierbar auf B .$\mathsf{NP}$$A$$B$$A$$B$$A$$B$

Hier ist mein Beweis:

Lassen Sie x und ¯ x beliebige Instanzen seine A , während x ' , dass der sein B . Angenommen , V A und V B sind Verifizierer von A und B . Lassen y und ¯ y beliebige Zertifikate werden x und ¯ x nach V $x$$\overline{x}$$A$$x'$$B$$V_A$$V_B$$A$$B$$y$$\overline{y}$$x$$\overline{x}$$V_A$ . Lassen z sein , daß von x ' nach V B .$z$$x'$$V_B$

Konstruiere neue Verifizierer V ' A und V ' $V'_A$$V'_B$ mit neuen Zertifikaten y ' und z ' :$y'$$z'$

$V'_A(x,y'):$

1. y ' = ⟨ 0 , ¯ x , ¯ y ⟩ : Wenn f ( x ) ≠ f ( ¯ x ) , abweisen. Andernfalls Ausgang V A ( $y'=\langle 0,\overline{x},\overline{y}\rangle$$f(x)\ne f(\overline{x})$ x , ¯ y ).$V_A(\overline{x},\overline{y})$
2. y ' = ⟨ 1 , z ⟩ : Ausgang V B ( f ( x ) , z ) .$y'=\langle 1,z\rangle$$V_B(f(x),z)$

$V'_B(x',z'):$

1. z ' = ⟨ 0 , z ⟩ : Ausgang V B ( x ' , z ) .$z'=\langle 0,z\rangle$$V_B(x',z)$

2. z ' = ⟨ 1 , x , y ⟩ : Wenn x ' ≠ f ( x ) , abweisen. Andernfalls Ausgang V A ( x , y ) .$z'=\langle 1,x,y\rangle$$x'\ne f(x)$$V_A(x,y)$

Die zur Polynomzeit berechenbaren Funktionen g und h sind wie folgt definiert:$g$$h$

$g(x,y')$

1. y ' = ⟨ 0 , ¯ x , ¯ y ⟩ : Ausgabe ⟨ 1 , ¯ $y'=\langle 0,\overline{x},\overline{y}\rangle$ , ¯ y ⟩ .$\langle 1,\overline{x},\overline{y}\rangle$

2. $y'=\langle 1,z\rangle$ : Ausgabe ⟨ 0 , z ⟩ .$\langle 0,z\rangle$

$h(x',z')$

1. $z'=\langle 0,z\rangle$ : Ausgabe ⟨ 1 , z ⟩ .$\langle 1,z\rangle$

2. $z'=\langle 1,x,y\rangle$ : Ausgabe ⟨ 0 , x , y ⟩ .$\langle 0,x,y\rangle$

Lassen Y x die Menge aller Zertifikate von x nach V A und Z x ' sein , die Menge aller Zertifikate von x ' nach V B . Dann ist die Menge aller Zertifikate von x nach V ' A ist 0 ¯ x Y ¯ x + 1 Z f ( x ) derart , dass f ( x ) = f ( ¯ x$Y_x$$x$$V_A$$Z_{x'}$$x'$$V_B$$x$$V'_A$$0\overline{x}Y_\overline{x}+1Z_{f(x)}$$f(x)=f(\overline{x})$Und die Menge aller Zertifikate von x ' gemäß = f ( ¯ x ) .$x'$V ' B ist 0 Z x ' + 1 ¯ x Y ¯ x , so daß x $V'_B$$0Z_{x'}+1\overline{x}Y_\overline{x}$$x'=f(\overline{x})$

(Dies ergibt sich aus der akzeptierenden Sprache von V ′ A und$V'_A$ V ' B ab .)$V'_B$

Nun lass x ′ = f ( x ) , der Rest ist leicht zu überprüfen.$x'=f(x)$

Nein. Beachten Sie zunächst, dass die Levinreduktion nur für Klassen sinnvoll ist, deren Zertifikat eine Bedeutung hat, z. B. N P, während die Karpreduktion allgemein ist. Das Wort "Zertifikat" für ein Problem ist nur dann sinnvoll, wenn ein Verifizierer behoben ist. Levins Reduktion setzt voraus, dass die Verifizierer feststehen. Sie können die Verifizierer nicht ändern. (Im Folgenden gehe ich davon aus, dass Zertifikatsüberprüfer gemäß der Definition der Levinreduktion festgelegt sind.)$\mathsf{NP}$

Zweitens bedeutet Levin-Reduktion, dass man das Zertifikat für das eine aus dem Zertifikat für das andere herausfinden kann. Es ist wahr, dass sich die bekannten Karp-Reduktionen zwischen natürlichen Problemen als Levin-Reduktion herausstellen, aber dies muss im Allgemeinen nicht wahr sein.

Wenn wir die Fälle von Problem A auf Problem B reduzieren können$A$$B$ heißt das nicht, dass wir die Möglichkeit haben, ein Zertifikat für das eine aus einem Zertifikat für das andere zu berechnen.

Damit dies zutrifft, benötigen wir die Tatsache, dass ein Zertifikatssuchproblem, das dem Entscheidungsproblem entspricht, eine Polynomzeit ist, die auf das Entscheidungsproblem reduziert werden kann. Dies gilt für N P - c o m p l e t e Probleme, es ist jedoch nicht bekannt, dass dies im Allgemeinen auch für N P Probleme gilt.$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$

A quick counterexample for your proof: suppose that $x_1, x_2 \in L_1$, $f(x_1) = f(x_2) \in L_2$, and $w$ is a valid certificate for $x_1$ but not for $x_2$

$M_1'(x_1,\langle 0,w \rangle)= M_1(x_1,w)=1$

$M_1'(x_2,\langle 0,w \rangle)= M_1(x_2,w)=0$

By definition $g(x_1,\langle 0,w \rangle) = \langle 1,x_1,w \rangle$

$f(x_1)=f(x_2)$ so $M'_2(f(x_2),\langle 1,x_1, w \rangle)) = M_1(x_1,w) = 1$ so $\langle 1,x_1, w \rangle$ is a valid certificate for $f(x_2)$ but

$h(f(x_2), \langle 1,x_1, w \rangle) = \langle 0, w \rangle$ which is not a valid certificate for $x_2$