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Ich möchte angeben, was es bedeutet, eine Algebra als Eingabe für einen Algorithmus zu geben, und habe nicht viel Literatur darüber gefunden. Daher möchte ich zunächst fragen, ob Sie ein Buch oder eine Arbeit empfehlen können, die sich mit dem Thema der Komplexitätsanalyse von Algebren über Felder befasst und das Entscheidungsproblem klar definiert .

Nach einigem Graben habe ich etwas gefunden und möchte es hier teilen und außerdem fragen, ob die Definitionen sinnvoll sind und mit der Literatur übereinstimmen (falls vorhanden):

Definition: Sei $\mathbb F$ ein Feld sein , und eine endlich erzeugte kommutativ -Algebra mit additiver Basis . Wir wollen nun die multiplikative Struktur der Algebra erfassen und daher jedes Produkt von Basiselementen als lineare Kombination aller Basiselemente schreiben: Die werden Strukturkoeffizienten genannt . Wir haben direkt das: F b 1 , ... , b n ∈ F ∀ 1 ≤ i , j , k ≤ n : ∃ a i j k : b i b j = n Σ k = 1 a i j k B k . a i j $A$$\mathbb F$$b_1,\ldots, b_n\in\mathbb F$

$$\forall 1\leq i, j, k\leq n: \exists a_{ijk}: b_ib_j=\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k.$$ $a_{ijk}$ $$A \cong \left.\mathbb{F}[b_1, \ldots, b_n] \middle/ \left<b_i b_j-\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k\right>_{1\leq i,j\leq n}\right..$$ Nun kann man folgendes Entscheidungsproblem definieren: Um einen Isomorphismus anzugeben, reicht es aus, jedes als lineare Kombination der Elemente einer Basis von zu schreiben . $$\{(A,B)\mid A, B \text{ commutative $\mathbb F$-algebras with basis $b_1, \ldots b_n$ and } A\cong B\}.$$ $\phi:A\rightarrow B$$\phi(b_i)$$B$

Kommt Ihnen etwas in dieser Definition seltsam vor oder glauben Sie, dass man damit arbeiten kann?

Motivation: Meine Motivation dahinter ist es, das Entscheidungsproblem zunächst sehr klar zu definieren, um es mit anderen Problemen in Verbindung zu bringen, dh dem Problem der Entscheidung über die Polynomäquivalenz: Gegeben sind zwei Polynome , sagen wir , dass ist äquivalent zu , wenn es existiert eine invertierbare lineare Transformation auf die Variablen , so dass . Mit anderen Worten, zwei Polynome sind äquivalent, wenn Sie jede Variable durch eine lineare Kombination aller Variablen ersetzen können, um das andere Polynom zu erhalten.$f,g\in\mathbb F[x_1, \ldots, x_n]$$f$$g$$\tau$$f(\tau(x_1), \ldots, \tau(x_n))=g(x_1, \ldots, x_n)$

Ich bin nicht sicher, ob dies als Motivation hilft, aber die Verbindung dieser Probleme wird hergestellt, indem endlich erzeugte kommutative Algebren aus den beiden Polynomen konstruiert werden, die genau dann isomorph sind, wenn die Polynome äquivalent sind. Dafür wollte ich sicherstellen, dass das Entscheidungsproblem sehr klar definiert ist.$\mathbb F$

$\mathbb{F}$

Die Berechenbarkeit über die mathematische Struktur ist ein langjähriges und gut etabliertes Forschungsgebiet. Siehe zum Beispiel:

• Edward R. Griffor, " Handbook of Computability Theory ", 1999

• Leonidovich Ershov, " Handbuch der rekursiven Mathematik: Rekursive Algebra, Analyse und Kombinatorik ", 1998

oder google für:

• Berechenbarkeitsalgebra
• berechenbare Modelltheorie