Warum ist die Vollständigkeit von Turing richtig?

Ich benutze einen digitalen Computer, um diese Nachricht zu schreiben. Solch eine Maschine hat eine Eigenschaft, die, wenn Sie darüber nachdenken, tatsächlich bemerkenswert ist: Es ist eine Maschine, die, wenn sie entsprechend programmiert ist, jede mögliche Berechnung durchführen kann .

Natürlich reichen Rechenmaschinen der einen oder anderen Art bis in die Antike zurück. Die Menschen haben Maschinen gebaut, mit denen Addition und Subtraktion (z. B. ein Abakus), Multiplikation und Division (z. B. der Rechenschieber) sowie domänenspezifischere Maschinen wie Taschenrechner für die Positionen der Planeten durchgeführt werden können.

Das Auffällige an einem Computer ist, dass er alle Berechnungen durchführen kann . Irgendeine Berechnung überhaupt. Und das alles, ohne die Maschine neu verkabeln zu müssen. Heutzutage nehmen alle diese Idee als selbstverständlich an, aber wenn man innehält und darüber nachdenkt, ist es erstaunlich, dass ein solches Gerät möglich ist.

Ich habe zwei aktuelle Fragen :

1. Wann hat die Menschheit herausgefunden, dass eine solche Maschine möglich ist? Gab es jemals ernsthafte Zweifel, ob dies möglich ist? Wann wurde das geregelt? (Wurde es insbesondere vor oder nach der ersten tatsächlichen Implementierung abgerechnet?)

2. Wie haben Mathematiker bewiesen, dass eine Turing-komplette Maschine wirklich alles berechnen kann?

Dieser zweite ist fummelig. Jeder Formalismus scheint einige Dinge zu haben, die nicht berechnet werden können. Derzeit ist "berechenbare Funktion" definiert als "alles, was eine Turing-Maschine berechnen kann". Aber woher wissen wir, dass es keine etwas leistungsstärkere Maschine gibt, die mehr Daten verarbeiten kann? Woher wissen wir, dass Turing-Maschinen die richtige Abstraktion sind?

Die Menschheit formalisierte die Berechnung und entwickelte 1936 mit den wegweisenden Schriften der Alonzo-Kirche über calculus und Alan Turing (der heute, am 23. Juni 2012, 100 Jahre alt werden würde, wenn nicht die abscheulichen Umstände, die zu seinem frühen Tod führen, ausschlaggebend wären) zwei Systeme dafür. auf was als Turing-Maschinen bekannt wurde. Beide Mathematiker lösten das Entscheidungsproblem .$\lambda$

Obwohl Churchs Artikel etwas früher veröffentlicht wurde, wusste Turing nichts davon, als er seine Ideen entwickelte, und Turings Ansatz erwies sich als nützlicher für die Konstruktion realer Maschinen. Dies geschah, weil er zeigte, wie man eine Universal-Turing-Maschine entwirft , die so programmiert werden kann, dass jede Berechnung ausgeführt werden kann. Diese universelle Maschine mit einer konkreten Architektur, die auf der Arbeit von John von Neumann basiert, ist die Grundidee hinter der Maschine, auf der Sie meine Antwort lesen.

Wie Sie bemerkt haben, ist berechenbar als "berechenbar auf einer Turing-Maschine" definiert, und alle anderen vernünftigen Berechnungsmodelle haben sich in ihrer Leistung als gleichwertig erwiesen. Die Überzeugung, dass alle vernünftigen Rechenmodelle in Bezug auf die von ihnen zu lösenden Entscheidungsprobleme gleichwertig sind, wird als Church-Turing-These bezeichnet . In seiner ursprünglichen Form wird es fast vollständig von der gelehrten Gemeinschaft geglaubt. Tatsächlich ist nicht ganz klar, was es bedeuten würde, die These von Church-Turing zu beweisen / zu widerlegen . in vielerlei Hinsicht wird es eine empirische Frage.

Es gibt jedoch immer noch die erweiterte Church - Turing - These, in der die etwas subtilere Frage gestellt wird: Was kann effizient berechnet werden ? Viele klassische Modelle, wie zum Beispiel Kalkül, Turing-Maschinen, tagbasierte Systeme, zelluläre Automaten usw., sind auch unter der erweiterten These gleichwertig. Die jüngste Entwicklung des Quantencomputers wirft jedoch Zweifel an der erweiterten These auf. Obwohl die meisten Menschen (einschließlich ich), die an Quantencomputern arbeiten, der Meinung sind, dass sie effizienter sind als die klassischen, ist die Angelegenheit Gegenstand wissenschaftlicher Debatten . Beachten Sie, dass in Bezug auf die grobe Vorstellung, was berechenbar ist (im Gegensatz zu effizient$\lambda$ berechenbar) Quantencomputing ist immer noch äquivalent zu Turings Modell.

Es gibt einen Grund, warum es eine Turing-Maschine genannt wird, und es ist, weil es von Alan Turing erfunden wurde. Er hat einen Aufsatz von 1936 darüber verfasst und diese Konzepte aufgestellt. Wenn Sie mehr über Turing Machines erfahren möchten, lesen Sie das Papier. Bevor er eines entwarf und baute, das das Rätsel löste, wurde ernsthaft bezweifelt, dass dieses Konzept tatsächlich funktionieren könnte. Die Briten waren jedoch ziemlich verzweifelt und er war ein Genie, also vertrauten sie ihm und es zahlte sich massiv aus.

Wenn Sie jedoch noch etwas darüber nachdenken, ist es wirklich gar nicht so erstaunlich. Es war lange vor Turing bekannt, dass die gesamte Mathematik auf einige Axiome reduziert werden konnte. Alles, was Sie tun müssten, ist dem Befehlssatz die Fähigkeit zu geben, diese Axiome auszuführen, und los geht's.