Die Auswirkungen der unteren Grenze der Schaltung sind eng

Es gibt ein grundlegendes Ergebnis in der Schaltungskomplexität, das besagt:

Es gibt eine Sprache, die mit Schaltkreisen der Größe nicht gelöst werden kann .$o(\frac{2^n}{n})$

Das Argument ist ein einfaches Zählargument für die Anzahl der Booleschen Funktionen und die Anzahl der verschiedenen Schaltkreise. Siehe zum Beispiel diese Vorlesungsunterlagen .

Ich glaube, es ist nicht bekannt, ob diese Grenze eng ist oder nicht. Das heißt, wir wissen nicht, ob die folgende Aussage wahr ist:

Jede Sprache kann mit Schaltkreisen der Größe gelöst werden .$O(\frac{2^n}{n})$

Wenn diese Aussage wahr wäre, hätte sie interessante Auswirkungen auf die Komplexitätstheorie?

Dies hat Müller bereits 1956 bewiesen . Hier ist die Konstruktion. Sei ein Parameter. Wir berechnen zunächst alle möglichen Funktionen an den ersten Eingängen in Größe (siehe unten). Wir konstruieren dann einen Entscheidungsbaum für die anderen Variablen und verbinden ihn mit der richtigen Funktion für die verbleibenden Variablen. Dies dauert (siehe unten) für insgesamt . Wenn wir wählen, erhalten wir die gewünschte Grenze.$k$$k$$O(2^{2^k})$$n-k$$O(2^{n-k})$$O(2^{2^k}) + O(2^{n-k})$$k = \log (n - \log n)$

Wir berechnen alle möglichen Funktionen an Eingängen induktiv. Sei die Größe einer Schaltung, die alle möglichen Funktionen an Eingängen berechnet . Es gibt zwei Funktionen für Null-Eingänge, also ist . Jede Funktion an Eingängen kann als , also . Die Lösung dieser Wiederholung ist .$k$$Z_k$$k$$Z_0 = 2$$f(x_1,\ldots,x_k)$$k$$x_k f(x_1,\ldots,x_{k-1},1) + \overline{x_k} f(x_1,\ldots,x_{k-1},0)$$Z_k = Z_{k-1} + 2^{2^k} \cdot O(1)$$Z_k = O(2^{2^k})$

Um den Entscheidungsbaum zu berechnen, verwenden wir eine ähnliche Konstruktion: Wenn ein Baum für die ersten Variablen gegeben ist, können wir einen Baum für die ersten Variablen der Form konstruieren . Die Wiederholung, die wir erhalten, ist , dessen Lösung .$T$$k-1$$k$$x_k T + \overline{x_k} T$$W_k = 2W_{k-1} + O(1)$$W_k = O(2^k)$