Sei $C$ eine nicht triviale Menge rekursiv aufzählbarer Sprachen ( $\emptyset \subsetneq C \subsetneq \mathrm{RE}$ ) und sei $L$ die Menge der Codierungen von Turing-Maschinen, die eine Sprache in $C$ :

Angenommen, $\langle M_{loopy}\rangle \in L$ , wobei $M_{loopy}$ ein TM ist, das niemals anhält. Ich frage mich, ob es möglich ist, dass $L \in \mathrm{RE}$ ?

Durch den Satz von Rice weiß ich, dass $L \notin \mathrm{R}$ (die Menge der rekursiven Sprachen), also entweder $L \notin \mathrm{RE}$ oder $\overline{L} \notin \mathrm{RE}$ . Muss es die erste Option seit $M_{loopy} \in L$ ?

Nein, das ist nicht möglich. Es gibt eine erweiterte Version von Rices Theorem¹, um zu beweisen, dass ein Indexsatz nicht rekursiv aufzählbar ist.

In Ihrer Notation besagt der Satz, dass, wenn ein (nicht triviales) eine Sprache enthält, die eine richtige Obermenge nicht in , dann . Die Intuition ist, dass kein Algorithmus Codierungen von und ; sie können sich nicht entscheiden , dass die codierte Maschine hat nicht jedes Wort aus nehmen nach einer endlichen Menge an Zeit, die sie hatten.$C$$L_1$$L_2$ $C$$L \notin \mathrm{RE}$$L_1$$L_2$$L_2 \setminus L_1$

Jetzt benötigen Sie aber , daher gilt der Satz und ist nicht rekursiv aufzählbar.$\emptyset \in C$$C \neq 2^{\Sigma^*}$$L$

1. Der Wikipedia-Artikel ist schrecklich, Vorsicht!

Um Raphaels Antwort zu vervollständigen, gibt es eine Erweiterung des Satzes von Rice, die Folgendes besagt:

Verallgemeinerter Reissatz

Lassen eine Eigenschaft, und sei L S alle die TMs sein, die die Eigenschaft erfüllen S , das heißt, L S = { ⟨ M ⟩ | L ( M ) ∈ S } . Dann ist L S ∈ R E genau dann, wenn alle folgenden Bedingungen erfüllt sind:$S \subseteq RE$$L_S$$S$

$$L_S = \{ \langle M \rangle \mid L(M) \in S \}.$$ $L_S \in RE$

1. für jedes , wenn L 1 ∈ S und L 1 ⊆ L 2 dann L 2 ∈ S .$L_1,L_2 \in RE$$L_1 \in S$$L_1 \subseteq L_2$$L_2 \in S$
2. wenn ist, existiert ein endliches L 2 ⊆ L 1, so dass L 2 ∈ S ist .$L_1\in S$$L_2 \subseteq L_1$$L_2 \in S$
3. Die Sprache 'aller endlichen Sprachen in ' ist in RE. (mit anderen Worten gibt es ein TM M S , das, wenn L eine endliche Sprache ist L = { w 1 , w 2 , ... w k ) , und ( w 1 , w 2 , ... , w k ) zu gegeben M S als Eingabe akzeptiert M nur, wenn L ∈ S ist .$S$
   $M_S$$L$$L=\{w_1, w_2, \ldots w_k)$$(w_1, w_2, \ldots, w_k)$$M_S$$M$$L\in S$

Nun zurück zur ursprünglichen Frage. Wir nun , dass so L ( ⟨ M l o o p y ⟩ ) ∈ C . Aber L ( ⟨ M l o o p y ⟩ ) = ∅ , da dieser TM nie stoppt. Dies bedeutet , dass ∅ ∈ C .$\langle M_{loopy}\rangle\in L$$L(\langle M_{loopy}\rangle)\in C$$L(\langle M_{loopy}\rangle)=\emptyset$$\emptyset \in C$

Betrachten wir nun die erste Bedingung des obigen Satzes. ANY Sprache erfüllt ∅ ⊆ L . Um die Bedingung 1 zu erfüllen, muss also C = R E sein . Jedoch sind die Zustände , dass Frage C ⊊ R E und somit durch das Theorem, L ∉ R E .$L$$\emptyset \subseteq L$$C=RE$$C\subsetneq RE$$L\notin RE$

Es ist möglich, dass wird. Betrachten wir den Fall C = R E . Dann ist L die Menge aller Codes aller Turingmaschinen. Dies ist eine rekursive Menge. Abhängig von den Details der Codierung könnte L = N sein . Es ist also tatsächlich falsch, dass L nicht rekursiv sein kann.$L$$C = RE$$L$$L = \mathbb{N}$$L$

Ich vermute, Sie haben die Frage falsch formuliert.