Single-Tape-Turing-Maschinen mit schreibgeschütztem Eingang erkennen nur reguläre Sprachen

Hier ist das Problem:

Beweisen Sie, dass Single-Tape-Turing-Maschinen, die nicht auf den Teil des Bands schreiben können, der die Eingabezeichenfolge enthält, nur reguläre Sprachen erkennen.

Meine Idee ist es zu beweisen, dass dieses spezielle TM einem DFA entspricht.

Die Verwendung dieses TM zur Simulation von DFA ist sehr einfach.

Wenn ich diesen DFA jedoch zum Simulieren von TM verwenden möchte, stoße ich auf das Problem. Für den TM-Übergang kann DFA definitiv simulieren, indem es das Band nach rechts liest und den gleichen Zustandsübergang ausführt.$\delta(q,a)=(q',a,R)$

Für kann ich nicht herausfinden, wie man diesen DFA oder NFA verwendet, um die Bewegung nach links zu simulieren, da der DFA nur nach links liest und keinen Stapel oder etwas zu speichern hat.$\delta(q,a)=(q',a,L)$

Sollte ich einen anderen Weg überlegen? Könnte mir jemand ein paar Tipps geben? Vielen Dank.

Einführung

Ich dachte, es könnte ein Fehler in der ursprünglichen Aussage der Frage sein, und das OP war nicht mehr da, um zu fragen. Also nahm ich an, dass das Band überall schreibgeschützt war, und schrieb einen ersten Beweis, der auf dieser Annahme beruhte und der darauf beruhte, dass der TM außerhalb des Eingangsteils des Bandes die volle Turing-Leistung besitzt, wenn er es beschreiben kann, was den Fehler auslöst Glaube, dass es jede RE-Sprache erkennen kann.

Dies ist jedoch nicht der Fall: Die Einschränkung des Schreibens auf dem Eingangsteil des Bandes impliziert, dass nur endliche Informationen aus dem Eingang extrahiert werden können, begrenzt durch die Anzahl der Zustände beim Ein- und Ausgang dieses Teils des Bandes (kombiniert mit Ein- und Ausgangsseite). InstructedA ist für die Bemerkung in einem Kommentar anzurechnen, dass es ein Problem mit der Erkennung einer RE-Sprache gibt, da es nicht möglich ist, eine Kopie der Eingabe zu erstellen, ohne jemals in den ursprünglichen Eingabebereich zu schreiben.

Daher habe ich einen zweiten Beweis geschrieben, der davon ausgeht, dass nur der Eingabeabschnitt des Bandes schreibgeschützt ist, der Rest ist schreibgeschützt.

Ich behalte hier beide Beweise, da der erste mir geholfen hat, die Lösung zu finden, obwohl es nicht notwendig ist, den zweiten Beweis zu verstehen, der komplexer ist und vom zweiten Beweis subsumiert wird. Es kann übersprungen werden. Der schwächere Beweis hat jedoch den Vorteil, konstruktiv zu sein (um ein FSA-Äquivalent zur Turing-Maschine zu erhalten), während das allgemeinere Ergebnis nicht konstruktiv ist.

Ich gebe jedoch zuerst das letzte und mächtigere Ergebnis. Ich bin ein bisschen überrascht, dass ich dieses Ergebnis nicht finden konnte, auch nicht ohne Beweise, an anderer Stelle im Internet oder durch Befragung einiger kompetenter Benutzer, und jeder Hinweis auf veröffentlichte Arbeiten wäre willkommen.

Inhalt:

• Turing-Maschinen, die keine Eingabe überschreiben, akzeptieren nur reguläre Sprachen. Dieser Beweis ist nicht konstruktiv.

• Turingmaschinen mit Nur-Lese-Bändern akzeptieren nur reguläre Sprachen. Es kann übersprungen werden, wie durch vorherige Beweise zusammengefasst, aber es verwendet einen anderen Ansatz, der den Vorteil hat, konstruktiv zu sein.

Turing-Maschinen, die keine Eingabe überschreiben, akzeptieren nur reguläre Sprachen

Wir erinnern uns, dass, während der TM seine Eingabe nicht überschreibt und daher nur an seiner Eingabe gelesen wird , der TM den Rest des Bandes lesen und beschreiben kann . Der Beweis beruht auf der Tatsache, dass das Beobachtungsverhalten des TM über eine unbekannte Eingabe nur eine endliche Anzahl verschiedener Fälle erzeugen kann. Daher, obwohl die TM volle Turing Kraft hat nur durch auf dem Rest seiner Band verlassen, ihre Informationen über die Eingabe, die eine beliebige Zeichenkette in sein kann , endlich ist , so dass es nur auf eine endliche Anzahl von verschiedenen Fällen berechnen kann. Dies gibt eine andere Sichtweise auf den endlichen Charakter regulärer Sprachen, eher verhaltensbezogen als strukturell.$\Sigma^*$

Wir gehen davon aus, dass das TM akzeptiert, wenn es in einen Akzeptanzzustand übergeht.

Beweis.

Wir definieren eine eingabebeschränkte Berechnung (IRC) als eine (schreibgeschützte) Berechnung des TM, so dass der TM-Kopf auf dem Eingabeteil des Bandes verbleibt, mit Ausnahme möglicherweise des letzten Übergangs, der ihn unmittelbar in eine Zelle am verschieben kann links oder rechts vom Eingabebereich.

Ein linkser Eingang beschränkte Berechnungen ist ein IRC , das beginnt , auf dem am weitesten links stehenden Symbol der Eingabe. Eine richtige Eingabe beschränkte Berechnungen ist ein IRC , das beginnt , auf dem am weitesten rechts liegenden Symbol des Eingangs.

Wir beweisen zunächst, dass für Berechnungen mit eingeschränkten Eingaben auf der linken Seite, die im Zustand , die folgenden Sprachen regelmäßig sind:$p$

• die Sprache der Eingabezeichenfolgen, so dass eine Berechnung mit eingeschränkter linker Eingabe ab dem Zustand p erfolgt, die in der ersten Zelle links vom äußersten linken Eingabesymbol im Zustand q endet ;$K_{Lp\to Lq}$$p$$q$

• die Sprache von Eingabezeichenfolgen, so dass es eine Berechnung mit eingeschränkter linker Eingabe gibt, die in Zustand p beginnt und in Zustand q an der ersten Zelle rechts von dem am weitesten rechts liegenden Eingabesymbol endet ;$K_{Lp\to Rq}$$p$$q$

• die Sprache von Eingabe-Strings, so dass es eine Eingabe-beschränkte Berechnung gibt, die im Zustand p beginnt und einen Akzeptanz-Zustand erreicht.$A_{Lp}$$p$

Und in ähnlicher Weise für die rechten Eingang Berechnungen beschränkte in Zustand ausgehend die folgenden ähnlich definierten Sprachen sind regular: K R p → L q , K R p → R q und A R p .$p$$K_{Rp\to Lq}$$K_{Rp\to Rq}$$A_{Rp}$

Die 6 Beweise beruhen auf der Tatsache, dass nicht-deterministische Zwei-Wege-Automaten mit endlichen Zuständen (2NFA) reguläre Mengen erkennen (siehe Hopcroft + Ullman 1979, S. 36-41, und Execute 2.18, S. 51). Ein 2NFA funktioniert wie ein Nur-Lese-TM auf einem Band, das auf seine Eingabe beschränkt ist, beginnend mit dem Symbol ganz links und akzeptierend, indem es in einem akzeptierenden Zustand über das rechte Ende hinausgeht.

In jedem der sechs Fälle wird der Beweis durch Erstellen eines 2NFA erstellt, der die eingabebeschränkten Berechnungen nachahmt, jedoch mit einigen zusätzlichen Übergängen, um sicherzustellen, dass er von der linken Zelle ausgeht und die Sprache akzeptiert, indem er am rechten Ende einer Annahme beendet wird Zustand. Für die Sprachen wird der ursprüngliche Akzeptanzzustand des TM in Zustände geändert, die zu einem Anhalten der nichtakzeptierenden Berechnung führen. In zwei Fällen kann es erforderlich sein, links eine zusätzliche Zelle mit einem neuen Schutzsymbol hinzuzufügen, um TM-Berechnungen zu erkennen, die am linken Ende enden würden, damit sie am rechten Ende enden.$K_{??\to ??}$

Diese Sprachen sind für alle Kombinationen der Zustände und q der ursprünglichen Turingmaschine definiert. Sie repräsentieren alles, was von der Eingabe durch das TM beobachtet (also bekannt und berechnet) werden kann.$p$$q$

Wenn die Anzahl der Zustände ist, definieren wir somit 4 k 2 Sprachen K ? ? → ? ? und 2 k Sprachen A ? ? insgesamt also 4 k 2 + 2 k sprachen. Tatsächlich können einige dieser Sprachen gleich sein.$k$$4k^2$$K_{??\to ??}$$2k$$A_{??}$$4k^2+2k$

Dies sind die einzig möglichen eingabebeschränkten Berechnungen des TM, die an einem Ende der Eingabe beginnen. Daher sind die Berechnungen, die durch jede Eingabezeichenfolge (außerhalb des Eingabeabschnitts des Bandes) induziert werden, durch die Menge solcher Sprachen gekennzeichnet, zu denen die Eingabe gehört oder nicht gehört, daher durch einen Schnittpunkt jeder dieser Sprachen oder sein Komplement in Σ * . Alle diese Schnittmengen sind endliche Schnittmengen von r 4 k 2 + 2 k regulären Sprachen oder deren Komplement, die ebenfalls regulär sind und daher regulär sind.$4k^2+2k$$\Sigma^*$$4k^2+2k$

$\mathcal P$$\Sigma^*$$2^{4k^2+2k}$

$u$$v$$\mathcal P$$u$$v$$\mathcal P$

Der Vollständigkeit halber haben wir den Fall der leeren Eingabezeichenfolge übersprungen. In diesem Fall haben wir nur ein normales TM, das überall lesen oder schreiben kann. Wenn es einen akzeptierenden Zustand erreicht, ist die leere Zeichenfolge in der Sprache, anderenfalls nicht. Dies hat jedoch wenig Einfluss darauf, dass die erkannte Sprache regelmäßig ist.

Natürlich ist es nicht entscheidend, ob eine Äquivalenzklasse in der Sprache vorliegt oder nicht (dasselbe gilt für die leere Zeichenfolge). Dies ist ein nicht konstruktiver Beweis.

QED

Turingmaschinen mit Nur-Lese-Bändern akzeptieren nur reguläre Sprachen

Dies wird durch das vorherige Ergebnis zusammengefasst. Es wird beibehalten, da es einen anderen Ansatz verwendet, der wahrscheinlich weniger elegant ist, und hat mir geholfen, den vorherigen Beweis zu finden, indem ich verstehe, worauf es ankommt. Aber es kann durchaus von Lesern übersprungen werden. Ein Vorteil dieses Beweises ist jedoch, dass es sich um einen konstruktiven Beweis handelt, der eine FSA erzeugt, die die Sprache akzeptiert. Eine Skizze eines ähnlichen Beweises gibt Hendrik Jan in seiner Antwort auf eine frühere ähnliche Frage , bei der davon ausgegangen wird , dass das gesamte Band schreibgeschützt war.

$\Box$

Der erste Schritt des Beweises besteht darin, zu zeigen, dass der Kopf niemals den Eingabebereich des Bandes verlassen muss. Wir analysieren also, was passiert, wenn sich der Kopf vom rechten Eingabesymbol entfernt. Die Analyse beim Anfahren am äußersten linken Rand ist identisch.

$q$

1. Der TM rechnet für immer, ohne dass der Kopf jemals auf den Eingangsteil des Bandes zurückkommt.

2. das TM erreicht ein (a) Annehmen oder (b) hält in einem nicht annehmenden Zustand an;

3. $r$

$q$

$\Box$$1$$0$

$0$

Wir stellen den relevanten Teil der endlichen Zustandskontrolle durch einen gerichteten Graphen dar, bei dem die Scheitelpunkte die Zustände des TM sind und bei dem die Kanten die Leerstellenübergänge sind, mit einer Gewichtung von +1 oder -1, je nachdem, ob sich der Kopf bewegen soll rechts oder links.

$A_R$$q$

$E_R$$(q,r)$$-1$$q$$r$

$\Box$

$q_A$

$p,a\mapsto R,q$$p,a\mapsto R,q_A$$q\in A_R$

$p,a\mapsto R,q$$(q,r)\in E_R$$p,a\mapsto S,r$$S$

$a$$F_a=\{(p,r)\mid \text{ there is a dummy transition } p,a\mapsto S,r\}$$F_a^*$$F_a$$r,a\mapsto L,s$$(p,r)\in F_a^*$$p,a\mapsto L,s$

$+1$$-1$

$q_A$

Wir müssen jetzt ein paar kosmetische Änderungen vornehmen, damit sich dieses TM genau wie ein NDA in zwei Richtungen verhält (die Annahme erfolgt nur, indem die Eingabe rechts in einen exakten Zustand versetzt wird). Dann können wir uns auf die bekannte Äquivalenz zwischen 2-NDA und FSA verlassen (siehe zum Beispiel Hopcroft + Ullman 1979, Seite 40), um den Beweis zu erhalten, dass die Sprache regelmäßig ist.

QED

Das Bewegen nach links oder rechts ist kein Problem, da endliche Zwei-Wege-Automaten die regulären Sprachen genau erkennen (dies ist nicht offensichtlich). Wenn Ihr TM jedoch außerhalb des Teils des Bandes des Eingabeworts schreiben kann, können Sie diesen Teil des Bandes in regulären Sprachen erkennen. Vielleicht verstehe ich die Frage nicht klar.