Kleene Stern einer unendlichen unären Sprache ergibt immer eine reguläre Sprache

Sei , wobei a 0 = ϵ und a n = a n - 1 a für alle n ≥ 1 sind .$L = \{a^n \mid n \ge 0\}$$a^0 = \epsilon$$a^n = a^{n-1}a$$n \ge 1$

Somit besteht aus Sequenzen a aller Längen, einschließlich einer Sequenz der Länge 0 . Lassen L 2 sein , jede unendliche Teilmenge von L . Ich muss zeigen, dass es immer einen DFA gibt, um L ∗ 2 zu erkennen .$L$$a$$0$$L_2$$L$$L_2^*$

Wenn eine endliche Teilmenge ist, ist es sehr offensichtlich, da L 2 ein DFA wäre und daher durch Kleene-Schließung L ∗ 2 von einem DFA erkannt würde. Ich kann es jedoch nicht für eine unendliche Teilmenge erhalten, da L 2 möglicherweise nicht als DFA ausgedrückt wird, wenn z. B. Zeichenfolgenlängen Primzahlen sind.$L_2$$L_2$$L_2^*$$L_2$

Angenommen, die Sprache enthält zwei Wörter, deren Länge relativ prim ist. Diese Längen seien und y . Wir wissen (siehe dies ), dass wir durch wiederholtes Addieren dieser Zahlen jede Zahl größer als ( x - 1 ) ( y - 1 ) - 1 erhalten können . Also , wenn x und y sind 13 und 7 , können wir eine beliebige Zahl größer als Schreib 72 als eine lineare Kombination von 7 und 13 . Was dies für uns bedeutet: L ∗ $x$$y$$(x - 1)(y - 1) - 1$$x$$y$$13$$7$$72$$7$$13$$L_2^*$besteht aus einer beliebigen endlichen Sprache (regular, als alle endlichen Sprachen), in der Vereinigung mit der Sprache . Diese Sprache ist regulär, da sie die Sprache aller Wörter ist, bei denen eine endliche Menge von Wörtern entfernt wurde. Da L ∗ 2 eine Vereinigung regulärer Sprachen ist, muss es auch regulär sein.$\{w \in a^* \mid |a| > (x-1)(y-1)-1\}$$L_2^*$

Wenn alle Wörter in Längen haben, die einen größten gemeinsamen Faktor haben (nennen Sie diesen gemeinsamen Faktor m ), wiederholen Sie das obige Argument, verwenden Sie jedoch anstelle von Zeichenfolgenlängen Zeichenfolgenlängen geteilt durch m . In diesem Fall L * 2 wird die Verkettung einer beliebigen endlichen Sprache (regular) und die Sprache seines { w ∈ ( eine m ) * | | w | > m 2 [ ( x / m - 1 ) ( y /$L_2^*$$m$$m$$L_2^*$ , auch regulär (da $ (a ^ m) ^ * regulär ist und wir endlich viele Wörter daraus entfernen).$\{w \in (a^m)^* \mid |w| > m^2[(x/m - 1)(y/m - 1) - 1]\}$

$L$$a^4$$a^{10}$$m = 2$$x/m = 4/2 = 2$$y/m = 10/2 = 5$$m$$m^2[(x/m - 1)(y/m - 1) - 1] = 2^2[(2 - 1)(5 - 1) - 1] = (4)(3) = 12$$a^4$$a^{10}$