Bestimmen Sie die fehlende Nummer im Datenstrom

Wir erhalten einen Strom von paarweise unterschiedlichen Zahlen aus der Menge .$n-1$$\left\{1,\dots,n\right\}$

Wie kann ich die fehlende Zahl mit einem Algorithmus ermitteln, der den Stream einmal liest und nur einen Speicher von Bits verwendet?$O(\log_2 n)$

Sie wissen , dass $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ und weil$S = \frac{n(n+1)}{2}$ konnte in codierter werden$O(\log(n))$Bits dies getan werden kann$O(\log n)$Speicher und in einem Weg (nur finden$S - \mathrm{currentSum}$, dies fehlt Zahl).

Aber dieses Problem könnte im allgemeinen Fall (für die Konstante ) gelöst werden : Wir haben k fehlende Zahlen, finden Sie alle heraus. In diesem Fall, anstatt nur die Summe von y i zu berechnen, berechnen Sie die Summe der j'sten Potenz von x i für alle 1 ≤ j ≤ k (ich nahm an, dass x i fehlende Zahlen und y i eingegebene Zahlen sind):$k$$k$$y_i$$x_i$$1\le j \le k$$x_i$$y_i$

$\qquad \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^k x_i &= S_1,\\ \sum_{i=1}^k x_i^2 &= S_2,\\ &\vdots \\ \sum_{i=1}^k x_i^k &= S_k \end{align}$ $\qquad (1)$

Denken Sie daran , dass Sie berechnen können , einfach, weil S 1 = S - ∑ y i , S 2 = ∑ i 2 - ∑ y 2 i , ...$S_1,...S_k$$S_1 = S - \sum y_i$$S_2 = \sum i^2 - \sum y_i^2$

Um nun fehlende Zahlen zu finden, müssen Sie lösen , um alle x i zu finden .$(1)$$x_i$

Sie können berechnen:

, P 2 = ≤ x i ≤ x j , ..., P k = ≤ x i ( 2 ) .$P_1 = \sum x_i$$P_2 = \sum x_i\cdot x_j$$P_k = \prod x_i$ $(2)$

Beachten Sie dazu , dass , P 2 = S 2 1 - S $P_1 = S_1$ , ...$P_2 = \frac{S_1^2 - S_2}{2}$

Aber ist Koeffizienten von P = ( x - x 1 ) ⋅ ( x - x 2 ) ⋯ ( x - x k ) aber P berücksichtigt werden kann eindeutig, so dass Sie fehlende Zahlen finden.$P_i$$P=(x-x_1)\cdot (x-x_2) \cdots (x-x_k)$$P$

Das sind nicht meine Gedanken; lies das .

Aus dem obigen Kommentar:

Before processing the stream, allocate $\lceil \log_2 n \rceil$ bits, in which you write $x:= \bigoplus_{i=1}^n \mathrm{bin}(i)$ ($\mathrm{bin}(i)$ is the binary representation of $i$ and $\oplus$ is pointwise exclusive-or). Naively, this takes $\mathcal{O}(n)$ time.

Berechnen Sie nach der Verarbeitung des Streams immer dann, wenn man eine Zahl liest , x : = x ⊕ b i n ( j ) . Lassen Sie k die Zahlen von seinem { 1 , . . . n } , das nicht im Stream enthalten ist. Nachdem wir den gesamten Strom gelesen haben, haben wir x = ( n ⨁ i = 1 b i n ( i ) ) ⊕ ( ⨁ i ≠ k$j$$x := x \oplus \mathrm{bin}(j)$$k$$\{ 1, ... n\}$ das gewünschte Ergebnis ergibt.

Daher haben wir verwendet und haben eine Gesamtlaufzeit von O ( n ) .$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(n)$

HdM's solution works. I coded it in C++ to test it. I can't limit the value to $O(\log_2 n)$ bits, but I'm sure you can easily show how only that number of bits is actually set.

For those that want pseudo code, using a simple $\text{fold}$ operation with exclusive or ($\oplus$):

Hand-wavey proof: A $\oplus$ never requires more bits than its input, so it follows that no intermediate result in the above requires more than the maximum bits of the input (so $O(\log_2 n)$ bits). $\oplus$ is commutative, and $x \oplus x = 0$, thus if you expand the above and pair off all data present in the stream you'll be left only with a single un-matched value, the missing number.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

using namespace std;

void find_missing( int const * stream, int len );

int main( int argc, char ** argv )
{
    if( argc < 2 )
    {
        cerr << "Syntax: " << argv[0] << " N" << endl;
        return 1;
    }
    int n = atoi( argv[1] );

    //construct sequence
    vector<int> seq;
    for( int i=1; i <= n; ++i )
        seq.push_back( i );

    //remove a number and remember it
    srand( unsigned(time(0)) );
    int remove = (rand() % n) + 1;
    seq.erase( seq.begin() + (remove - 1) );
    cout << "Removed: " << remove << endl;

    //give the stream a random order
    std::random_shuffle( seq.begin(), seq.end() );

    find_missing( &seq[0], int(seq.size()) );
}

//HdM's solution
void find_missing( int const * stream, int len )
{
    //create initial value of n sequence xor'ed (n == len+1)
    int value = 0;
    for( int i=0; i < (len+1); ++i )
        value = value ^ (i+1);

    //xor all items in stream
    for( int i=0; i < len; ++i, ++stream )
        value = value ^ *stream;

    //what's left is the missing number
    cout << "Found: " << value << endl;
}