Ist eine unendliche Vereinigung kontextfreier Sprachen immer kontextfrei?

Sei , , , eine unendliche Folge von kontextfreien Sprachen, von denen jede über ein gemeinsames Alphabet . Sei die unendliche Vereinigung von , , , ; dh . $L_1$ $L_2$ $L_3$ $\dots$ $Σ$ $L$ $L_1$ $L_2$ $L_3$ $\dots$ $L = L_1 \cup L_2 \cup L_3 \cup \dots$

Ist es immer so, dass eine kontextfreie Sprache ist? $L$

formal-languages context-free closure-properties

— Gigili
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Hier gibt es zwei meist unabhängige Fragen. Das erste ist sehr elementar, aber das zweite ist sogar leicht mit Wikipedia zu beantworten. Ich schlage vor, Sie bearbeiten, um sich auf die erste Frage zu konzentrieren.

— Raphael

@ Raphael: Ich habe es selbst vor Ihrem Vorschlag gemacht, aber dann dachte ich, es könnte einige Teile der Antworten unbrauchbar machen.

— Gigili

@ Raphael: Diese Bearbeitung macht das meiste, was ich geschrieben habe, ungültig! Ich denke nicht, dass es eine gute Idee ist, solche Fragen zu verwandeln, wenn es bereits Antworten gibt.

— Aryabhata

@Aryabhata: Kann ich Ihre Antwort bitte bearbeiten? Ich habe es bearbeitet, um zu verhindern, dass die Frage einfach wird, wie er sagte! Ich werde eine Meta-Frage dazu posten.

— Gigili

@ Gigili: Ich kann, aber ich habe allgemein gesprochen. Stellen Sie sich den Fall vor, in dem jemand Nachforschungen anstellt und sich bemüht, eine detaillierte Antwort zu schreiben. Jetzt ändern Sie die Frage, die den größten Teil dieser Antwort ungültig macht. Für diese Frage spielt es möglicherweise keine Rolle, tatsächlich kann ich meine Antwort wahrscheinlich einfach löschen, da wir zwei Antworten haben, die dasselbe sagen, und eine davon wäre nur Lärm.

— Aryabhata

Die Vereinigung von unendlich vielen kontextfreien Sprachen ist möglicherweise nicht kontextfrei. Tatsächlich kann die Vereinigung von unendlich vielen Sprachen so gut wie alles sein: Sei eine Sprache und definiere für jedes die (endliche) Sprache . Die Gewerkschaft über alle diese Sprachen ist . Endliche Sprachen sind regelmäßig, aber möglicherweise nicht einmal entscheidbar (und damit definitiv nicht kontextfrei). $L$ $l \in L$ $L_l = \{ l \}$ $L$ $L$

Die Schließungseigenschaften kontextfreier Sprachen finden Sie auf Wikipedia .

— Alex ten Brink
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Vielen Dank für Ihre Antwort. Die Antwort lautet also "nein"? Könnten Sie ein Gegenbeispiel liefern?

— Gigili

{a^{n} b^{n} c^{n} | n \geq 1}

$\{ a^n b^n c^n | n \geq 1 \}$

L_{1} = {a b c}, L_{2} = {a a b b c c}, L_{3} = {a a a b b b c c c}, \dots

$L_1 = \{ a b c \}, L_2 = \{ aa bb cc \}, L_3 = \{ aaa bbb ccc \}, \dots$

L_{i}

$L_i$

@ Gigili Sie sollten in der Lage sein, jede nicht kontextfreie Sprache als Gegenbeispiel zu verwenden, indem Sie das verwenden, was Alex geschrieben hat.

— Raphael

Eine andere Möglichkeit, eine Sprache aufzuschlüsseln, besteht in der Länge der Wörter:

L = ⋃_{n \in N} {w \in L ∣ | w | \leq n}

$L = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \{w \in L \mid |w| \le n\}$ . Dies zeigt, dass selbst eine zunehmende Vereinigung endlicher Sprachen ausreicht, um jede Sprache zu beschreiben.

— Gilles 'SO - hör auf böse zu sein'

"Tatsächlich kann die Vereinigung von unendlich vielen Sprachen so ziemlich alles sein " (Hervorhebung hinzugefügt). Eigentlich kann es alles sein, Punkt, kein "fast". Ihr Beispiel zeigt das. Nun, die Nullmenge / Sprache mag ein Problem sein, aber leere Gewerkschaften sind in Ordnung. Es kann also die seltsamste, nicht berechenbare Menge sein, so weit oben in jeder Hierarchie, wie Sie möchten. Es kann ein beliebiger Satz sein.

— David Lewis