Können wir eine Karp-Reduktion aus einer Cook-Reduktion zwischen NP-Problemen konstruieren?

Wir hatten mehrere Fragen zum Verhältnis von Cook- und Karp-Reduktionen . Es ist klar, dass Cook-Reduktionen (Poluring-Zeit-Turing-Reduktionen) nicht den gleichen Begriff der NP-Vollständigkeit definieren wie Karp-Reduktionen (Polynom-Zeit-Viel-Eins-Reduktionen), die normalerweise verwendet werden. Insbesondere können Cook-Reduktionen NP nicht von Co-NP trennen, selbst wenn P NP. Daher sollten wir Cook-Reduktionen nicht in typischen Reduktionsnachweisen verwenden.$\neq$

Jetzt fanden die Schüler eine von Experten begutachtete Arbeit [1], die eine Cook-Reduktion verwendet, um zu zeigen, dass ein Problem NP-schwer ist. Ich habe ihnen nicht die volle Punktzahl für die Reduzierung gegeben, die sie von dort genommen haben, aber ich frage mich.

Da Cook-Reduktionen einen ähnlichen Begriff von Härte definieren wie Karp-Reduktionen, denke ich, dass sie in der Lage sein sollten, P von NPC bzw. NPC zu trennen. Co-NPC unter der Annahme von P NP. Insbesondere sollte (so etwas wie) Folgendes zutreffen:$\neq$

$\qquad\displaystyle L_1 \in \mathrm{NP}, L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}, L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1 \implies L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}$ .

Das wichtige Nugget ist, dass , wie oben erwähnt, umgangen wird. Wir "wissen" jetzt - per Definition des NPC -, dass .L 2 ≤ K a r p L $L_1 \in \mathrm{NP}$$L_2 \leq_{\mathrm{Karp}} L_1$

Wie Vor bemerkt hat , ist es nicht so einfach (Notation angepasst):

Angenommen, , dann per Definition für alle Sprachen wir habe ; und wenn die obige Implikation wahr ist, dann ist und damit was noch eine offene Frage ist. L 2 ∈ N P C K a r p ⊆ N P L 2 ≤ C o o k L 1 L 1 ∈ N P C K a R p N P C K a r p = N P C C o o $L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Cook}}$$L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}} \subseteq \mathrm{NP}$$L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1$$L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}$$\mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}} = \mathrm{NPC}_{\mathrm{Cook}}$

Es kann andere Unterschiede zwischen den beiden NPCs geben, aber Co-NP.

Andernfalls gibt es bekannte (nicht triviale) Kriterien für eine Kochreduktion, die eine Karp-NP-Härte impliziert, dh kennen wir Prädikate mit$P$

$\qquad\displaystyle L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}, L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1, P(L_1,L_2) \implies L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}$ ?

1. Zur Komplexität der Mehrfachsequenzausrichtung von L. Wang und T. Jiang (1994)

Es ist ein allgemein offenes TCS-Problem, das Gegenstand laufender Untersuchungen ist, ob und unter welchen Bedingungen die Cook- und Karp-Reduktionen gleichwertig sind, und anscheinend eng mit der offenen NP =? coNP-Frage und anderen Komplexitätsklassen-Trennungen zusammenhängt, z. B. E =? NE (für spärliche Sprachen).

Hier sind zwei Forschungsarbeiten zu diesem Thema und weitere Hinweise auf tcs.se über eine ähnliche Frage:

• Sind Cook und Karp immer gleich? Beigel, Fortnow

• Cook vs. Karp-Levin: Trennung von Vollständigkeitsbegriffen, wenn NP nicht klein ist (1995) Lutz, Mayordomo

• viele Ein-Reduktionen gegen Turing-Reduktionen, um NPC zu definieren , tcs.se.

Um ein Cook-vollständiges Problem mechanisch in ein Karp-vollständiges Problem umzuwandeln, muss die Sprache selbst im Allgemeinen etwas Besonderes sein .

$L$

$L$

$x$$x'=f(x)$$L(x)\neq L(x')$

$g(x)$$f(g(x))$

Wie Sie sehen können, werden diese Eigenschaften normalerweise nicht in der Komplexitätstheorie oder der Berechenbarkeitstheorie gesehen. Zusammenfassend ist es äußerst unwahrscheinlich, dass Cook in Karp verwandelt werden kann.