Niedriggradige Knoten in spärlichen Graphen

Sei ein Graph mit Eckpunkten, von denen keiner isoliert ist, und Kanten, wobei . Zeigen Sie, dass mindestens zwei Eckpunkte vom Grad eins enthält. $G = (V,E)$ $n$ $n−1$ $n \geq 2$ $G$

Ich habe versucht, dieses Problem mit der Eigenschaft zu lösen . Kann dieses Problem mithilfe des Taubenlochprinzips gelöst werden ? $\sum_{v \in V} \operatorname{deg}(v) = 2|E|$

graph-theory proof-techniques

— Saurabh
quelle

Versuchen Sie, das stärkere Ergebnis zu beweisen, wenn die Anzahl der Kanten nur weniger als beträgt

n

$n$ (nicht unbedingt)

n - 1

$n-1$ ). Induktion einschalten

n

$n$ . Sie können davon ausgehen, dass der Graph ohne Verlust der Allgemeinheit verbunden ist (warum?). Wenn Sie den Beweis herausfinden, veröffentlichen Sie ihn als Antwort unten.

— Kaveh

Ich sehe nicht, wie sich die Verwendung des gesamten Taubenprinzips von der Verwendung dieser Identität unterscheidet.

— Raphael

Ein so spärlicher Graph muss ein Baum sein, oder?

— Strin

Ja, es ist ein Baum

— Saurabh

@ SaurabhHota: Diese Einsicht kann auch als Beweis verwendet werden.

— Raphael

Antworten:

Ja, kann es.

Du hast $n-1$ Kanten, was bedeutet $2n-2$ Löcher für Knotentauben. Wenn jeder Knoten einen Grad zwei (oder mehr) haben soll, müssen wir (mindestens) zwei Tauben für jeden Knoten platzieren, was insgesamt ergibt $2n$ Tauben.

Nach diesem Prinzip finden (mindestens) zwei Tauben kein einzelnes Loch, was bedeutet, dass (mindestens) ein Knoten isoliert ist oder (mindestens) zwei Knoten nur eine Kante haben. Da kein Knoten durch Annahme isoliert ist, haben Sie (mindestens) zwei Knoten mit Grad eins.

— Raphael
quelle

Da ist die Anzahl der Kanten $n-1$ ist der Graph ein Baum. Nehmen Sie einen Startscheitelpunkt $v$ im $V(G)$ . Gehen Sie nun in eine beliebige Richtung und gehen Sie weiter, ohne einen Scheitelpunkt zu wiederholen. Schon seit $G$ ist endlich und enthält keinen Zyklus, wird dieser Prozess schließlich in einem Scheitelpunkt gestoppt $u$ Grad 1. Wenn $v$ hatte auch grad 1, wir sind fertig. Wenn nicht, beginnen Sie einen neuen Spaziergang in eine andere Richtung $v$ . Diese Wanderung endet auch in einem Scheitelpunkt des Grades 1.

— utdiscant
quelle