Beweisen Sie, dass reguläre Sprachen unter dem Zyklusoperator geschlossen sind

Ich habe in ein paar Tagen eine Prüfung und habe Probleme, diese Aufgabe zu lösen.

Sei eine reguläre Sprache über dem Alphabet . Wir haben den Betrieb Und nun sollten wir das zeigen ist auch regelmäßig. $L$ $\Sigma$ $\operatorname{cycle}(L) = \{ xy \mid x,y\in \Sigma^* \text{ and } yx\in L\}$ $\operatorname{cycle}(L)$

Die Referenz ist, dass wir aus einem DFA mit a -NFA mit und konstruieren könnten Zustände. $D=(Q,\Sigma,\delta, q_0, F)$ $L(D) = L$ $\epsilon$ $N$ $L(N) = \operatorname{cycle}(L)$ $2 · |Q|^2 + 1$

— user1594
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Übung 5.4 , fällig am 24. Mai.

— Raphael

Die Idee ist, zu Beginn nicht deterministisch zu entscheiden, wie viel das Wort getaktet wird, und für jeden Fall eine Kopie des Automaten zu haben. In Bezug auf den Automaten bedeutet dies, dass wir erraten, in welchem Zustand sich nach dem Konsumieren des Präfixes eines Wortes (das ein Suffix unserer Eingabe ist) befunden hätten, und in diesem Zustand beginnen. $D$

Nun zum Bau. Trennen Sie für jeden Zustand in zwei Teile und . enthält die Zustände, von denen aus erreichbar ist, und die Zustände, von denen aus erreichbar ist : $q \in Q$ $D$ $A_1$ $A_2$ $A_1$ $q$ $A_2$ $q$

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein
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$A_1$ $A_2$

$q$

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein
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$|Q|$ $\varepsilon$ $\operatorname{cycle}(L)$ $|Q|\cdot(2|Q|+1) + 1$ $|Q|$

$2|Q|^2 + 1$ $q_0$ $\varepsilon$ $(q_1,\varepsilon,q_0), (q_0,a,q_2)$ $(q_1,a,q_2)$

Strenge Konstruktion und Korrektheitsnachweis bleiben als Übung.

— Raphael
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aber wie kannst du beweisen, dass du gerade eine nfa gebaut hast?

— Sad Golduhren

q_{0} \to q

$q_0 \to q$

q \to q_{F}

$q \to q_F$

q_{F}

$q_F$

q

$q$

q \to q_{F}

$q \to q_F$

q_{0} \to q^{'}

$q_0 \to q'$

q_{F} \overset{ϵ}{\to} q_{0}

$q_F \stackrel\epsilon\to q_0$