Gemeinsame Idee in Karatsuba, Gauss und Strassen Multiplikation

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Die in Multiplikationsalgorithmen von verwendeten Identitäten

Karatsuba (ganze Zahlen)
Gauß (komplexe Zahlen)
Strassen (Matrizen)

scheinen sehr eng miteinander verwandt zu sein. Gibt es einen gemeinsamen abstrakten Rahmen / eine gemeinsame Verallgemeinerung?

algorithms matrices

— sdcvvc
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Schlagen Sie Schönhages asymptotische Summenungleichung nach.

— Yuval Filmus

Von welchen Identitäten redest du? Sollen wir alle drei Artikel lesen, um zu antworten? Bitte fügen Sie Ihrer Frage die relevanten Informationen hinzu.

— Raphael

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@Raphael: Die Identitäten, die die Grundlage für die Algorithmen bilden. Sie drücken 4

— Zahlenmultiplikationen

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Das klassische Gerüst ist das der bilinearen Algorithmen und der Tensorrangzerlegung. Grundsätzlich man den 3-Wege - Tensor assoziiert mit der bilinearen Abbildung Konstrukt $f(A,B) = A \cdot B$ , in der Basis der Koeffizienten, dann für eine Zerlegung es als eine Summe von Rang-Eins - Tensoren (dh solche der Form $T_{i,j,k} = u_i v_j w_k$ ). Dies wird zum Beispiel in diesem Artikel von Bläser oder im Buch von Bürgisser, Clausen, Shokrollahi, Algebraic Complexity Theory näher erläutert.

Soweit ich weiß, ist die Neuformulierung in Bezug auf Gruppenrepräsentationen, die Suresh in seiner Antwort erwähnt, eine spätere, und ich finde sie weniger geeignet für eine erste Herangehensweise an das Thema (aber das könnte natürlich voreingenommen sein von meiner Seite) ).

— Federico Poloni
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Das ist die richtige Antwort. Ein Aspekt, der fehlt, ist die Tensorisierung / Divide-and-Conquer-Methode, die sowohl dem Karatsuba-Algorithmus als auch dem schnellen (quadratischen) Matrixmultiplikationsalgorithmus zugrunde liegt.

— Yuval Filmus

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Eine teilweise Antwort auf Ihre Frage ist der gruppentheoretische Ansatz, der zuerst von Cohn und Umans entwickelt und dann von Cohn, Kleinberg, Szegedy und Umans weiterentwickelt wurde. Es kann Strassen und Coppersmith-Winograd für die Matrixmultiplikation "einfangen".

— Suresh
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Das geht wirklich daneben. Der gruppentheoretische Ansatz ist eigentlich nur eine Möglichkeit, solche Identitäten überhaupt zu finden.

— Yuval Filmus