Gibt es ein TM, das bei allen Eingaben angehalten wird, dessen Eigenschaft jedoch nicht nachweisbar ist?

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Gibt es eine Turing-Maschine, die bei allen Eingaben anhält, aber diese Eigenschaft ist aus irgendeinem Grund nicht nachweisbar?

Ich frage mich, ob diese Frage untersucht wurde. Beachten Sie, dass "unbeweisbar" ein "eingeschränktes" Beweissystem bedeuten kann (das im schwachen Sinne der Meinung ist, dass die Antwort ja sein muss). Ich interessiere mich natürlich für die bestmögliche Antwort, dh eine, die nicht nachweislich bei allen Eingaben in der ZFC-Mengen-Theorie oder was auch immer zum Stillstand kommt .

Mir ist aufgefallen, dass dies für die Ackermann-Funktion zutreffen könnte, aber ich bin bei den Details verschwommen. Wikipedia scheint diesen Aspekt nicht klar zu beschreiben.

— vzn
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3

Die Peano-Arithmetik reicht aus, um zu beweisen, dass Ackermanns Funktion vollständig ist: Dies ist Übung 17 von Jaap van Oostens Einführung in die PA- Noten.

— David Richerby

gesamt berechenbar fn defn wikipedia. Beachten Sie, dass diese Frage teilweise durch einen Blick in den Collatz fn motiviert wurde, in dem es sich um eine verwandte lange offene Frage handelt ...

— vzn

2

Dies ist eine dumme Bemerkung, aber beachten Sie, dass für jede M Turing - Maschine , dass endet auf alle Eingaben, die Theorie

ist eine konsistente Theorie. Mit dem Gödels-Theorem können wir jedoch zeigen, dass es keine einzige rekursive Theorie gibt, die die Terminierung all dieser Maschinen beweisen kann .

P A + " M terminates on all input"

$\mathrm{PA}+\mbox{"$M$ terminates on all input"}$

— Cody

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Ja. Die Turing-Maschine, die die Goodstein-Sequenz beginnend mit ihrer Eingabe berechnet und endet, wenn die Sequenz Null erreicht. Es endet immer, aber dies kann in der Peano-Arithmetik nicht bewiesen werden. Ich bin mir sicher, dass es für ZFC oder jedes andere System, das Sie wählen könnten, äquivalente Dinge gibt.

$M$ $M$ $M'(x)$ $=$ $M$ $x$

Siehe Kap. 3 von Scott Aaronsons Umfrage zur Unabhängigkeit von P = NP für eine Darstellung des Hartmanis-Hopcroft-Ergebnisses und von Zitaten in ihren Originalarbeiten.

— David Richerby
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Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

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${\cal T}$ ${\cal T}$

$M$ $n$

If there is no proof of 0 = 1 in less than n steps in T, ACCEPT
Otherwise, LOOP.

${\cal T}$ $M$

${\cal T}=\mathrm{ZFC}$ ${\cal T}=\mathrm{PA}$ ${\cal T}=\mathrm{PA²}$

— Cody
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5

Einige in PA nicht beweisbare, aber wahre Theoreme können in Turing-Maschinen umgewandelt werden. Zum Beispiel gibt es eine (verstärkte) Version von Ramseys Theorem , die in PA nicht beweisbar ist, und wir können eine Maschine konstruieren, die nur nach dem richtigen sucht . $N$

— Daniil
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