Verbindung zwischen Gießbarkeit und Konvexität

Ich frage mich, ob es einen Zusammenhang zwischen konvexem Polygon und gießbarem Objekt gibt. Was können wir über die Gießbarkeit des Objekts sagen, wenn wir wissen, dass das Objekt ein konvexes Polygon ist und umgekehrt?

Lassen Sie uns einige grundlegende Dinge zusammenfassen, die wir wissen müssen.

Das Objekt ist gießbar, wenn es aus der Form entfernt werden kann.

Das Polyeder P kann durch eine Verschiebung in Richtung genau dann aus seiner Form entfernt werden, wenn einen Winkel von mindestens mit der Außennormalen aller gewöhnlichen Facetten von P bildet .$\vec{d}$$\vec{d}$$90^{\circ}$

Für ein beliebiges Objekt hat das Testen auf Gießbarkeit die Zeitkomplexität . Meiner Meinung nach könnte für ein konvexes Polygon die lineare Zeit verbessert werden, da wir für jede neue obere Facette testen sollten, ob der Vektor einen Winkel von mindestens mit der nach außen gerichteten Normalen bildet aber nur von zwei benachbarten gewöhnlichen Facetten von P.$O(n^2)$$\vec{d}$$90^{\circ}$

Wenn dies zumindest zutrifft, haben wir Verbesserungen bei der Prüfung der Gießbarkeit im Fall eines konvexen Polygons.

Wir können noch etwas über Gießbarkeit und Konvexität sagen. Besonders interessant zu wissen, ob die Gießbarkeit etwas über Konvexität aussagt.

Dies ist eine richtige Antwort, aber Sie können mich gerne korrigieren. Ich glaube, ich habe nicht die richtigen Definitionen erhalten. Deshalb beginne ich mit einfachen Fakten, die zuerst überprüft werden sollten.

Ich nehme an, du redest darüber $\vec v$-Gießbarkeit eines "offenen" Polyeders.

1. In der Tat scheint es kein "geschlossenes" Polyeder zu geben $\vec v$-castable.

2. Für jeden $\vec v$kann ein konvexes "geschlossenes" Polyeder immer in zwei "offene" Teile in einer Normalenebene geschnitten werden $\vec v$ das sind $\vec v$-castable und $(-\vec v)$-castable.

3. Der Test von $\vec v$-castability ist in $O(n)$ (auch wenn es nicht konvex ist)

4. Das Problem (Gibt es eine $\vec v$ st $P$ ist $\vec v$-castable?) scheint linear auf die konvexe Hülle reduzierbar zu sein , die sich in befindet$O(n\log n)$::

   1. Betrachten Sie zuerst jede äußere Normalität $\vec{n_i}$ in einen Punkt der Einheitskugel.

   2. Berechnen $H$ die konvexe Hülle dieser Punkte.

   3. Wenn der Ursprung $0$ ist in $H$ dann für alle $\vec v$, $P$ ist nicht $\vec v$-castable.

   4. Wenn der Ursprung $0$ ist nicht in $H$ dann lass $\vec v$ sei der Vektor, der bei der Projektion von beginnt $0$ auf $H$ und endet bei $0$. Der Vektor$\vec v$ definiert einen halben Raum, der keines der enthält $\vec{n_i}$ bedeutet, dass $(\vec v, \vec{n_i})>90°$.

   5. Wenn der Ursprung $0$ ist auf der Oberfläche von $H$, nimm einfach das normale von $H$ im $0$ zum $\vec v$.

nicht in der konvexen Hülle, falls vorhanden $\vec v$ so dass

1. Wenn $P$ist konvex und "offen" (was auch immer es bedeutet), dann brauchen Sie nur seine "Grenze" und die entsprechende Ausrichtung. Sie wenden denselben Algorithmus wie oben auf die Grenze (plus den Orientierungsvektor) an, wodurch die Komplexität verringert wird. Für ein Polygon wird es in$O(1)$ wenn Sie die beiden Segmente an der Grenze bereits kennen.

Hoffe das hilft.

Aus formbaren und gießbaren Polygonen von Rappaport und Rosenbloom (1994). Wenn die Eckpunkte des Polygons im Uhrzeigersinn gegeben sind, kann die 2-Formbarkeit in O (n) -Zeit bestimmt werden, die 2-Gießbarkeit kann in O (n log n) -Zeit bestimmt werden.