MST: Prims Algorithmuskomplexität, warum nicht

Laut CLRS sind die Algorithmen des Prim wie folgt implementiert:

$\mathtt{\text{MST-PRIM}}(G,w,r)$

• für jedes tun$u \in V[G]$
  
  • $\mathtt{\text{key}}[u] \leftarrow \infty$
  • $\pi[u] \leftarrow \mathtt{\text{NIL}}$
• $\mathtt{\text{key}}[r] \leftarrow 0$
• $Q \leftarrow V[G]$
• während $Q \ne \emptyset$ tun // ... $O(V)$
  • $u$ $\leftarrow$ $\mathtt{\text{EXTRACT-MIN}}(u)$ // ...$O(\lg V)$
    
    • für jedes $v \in \mathtt{\text{adj}}[u]$ mache // ... $O(E)$
      
      • wenn $v \in Q$ und $w(u,v) \gt \mathtt{\text{key}}[v]$
        • dann $\pi[v] \leftarrow u$
          • // TASTE VERRINGERN ... O ( lg V $\mathtt{\text{key}} \leftarrow w(u,v)$$\mathtt{\text{DECREASE-KEY}}$$O(\lg V)$

Das Buch sagt, dass die Gesamtkomplexität . Was ich jedoch verstanden habe, ist, dass die innere Schleife mit der Operation O ( E lg V ) kostet und die äußere Schleife sowohl die als auch die innere Schleife einschließt, so dass die Gesamtkomplexität O ( V ( lg V + E lg V) sein sollte ) ) = O $O(V \lg V + E \lg V) \approx O(E \lg V)$forDECREASE-KEY$O(E \lg V)$whileEXTRACT-MINfor .$O(V (\lg V + E \lg V)) = O(V \lg V + EV \lg V) \approx O(EV \lg V)$

Warum wird die Komplexitätsanalyse nicht als solche durchgeführt? und was ist falsch an meiner Formulierung?

Die Komplexität wird wie folgt abgeleitet. Die Initialisierungsphase kostet $O(V)$ . Die $while$ Schleife ausgeführt $\left| V \right|$mal. Die $for$ innerhalb der verschachtelten Schleife $while$ Schleife wird ausgeführt , $degree(u)$ mal. Schließlich impliziert das Handshake-Lemma, dass es $\Theta(E)$ implizite DECREASE-KEYs gibt. Daher ist die Komplexität: $\Theta(V)* T_{EXTRACT-MIN} + \Theta(E) * T_{DECREASE-KEY}$ .

Die tatsächliche Komplexität hängt von der tatsächlich im Algorithmus verwendeten Datenstruktur ab. Unter Verwendung eines Arrays ist $T_{EXTRACT-MIN} = O(V), T_{DECREASE-KEY} = O(1)$ , die Komplexität ist $O(V^2)$ in der schlimmsten Fall.

Unter Verwendung eines binären Haufen, $T_{EXTRACT-MIN} = O(\log V), T_{DECREASE-KEY} = O(\log V)$ , Komplexität $O(E \log V)$ im schlimmsten Fall. Hier ist der Grund: Da der Graph verbunden ist, dann $\left| E \right| \ge \left| V \right| - 1$ und$E$ ist höchstens$V^2$ (schlimmster Fall für einen dichten Graphen). Wahrscheinlich haben Sie diesen Punkt verpasst.

Unter Verwendung eines Fibonacci-Haufens wird $T_{EXTRACT-MIN} = O(\log V)$ amortisiert, $T_{DECREASE-KEY} = O(1)$ amortisiert, Komplexität ist $O(E + V \log V)$ im schlimmsten Fall.

Ihre Idee scheint richtig zu sein. Nehmen wir die Komplexität als . Beachten Sie dann, dass wir in der inneren for-Schleife tatsächlich alle Eckpunkte und nicht die Kanten durchlaufen. Ändern wir also ein wenig zu V ( lg v + V lg v ) , was V lg v + V 2 lg v bedeutet . Für die Worst-Case-Analyse (dichte Graphen) ist V 2 ungefähr gleich der Anzahl der Kanten E , was V lg v + E ergibt $V(\lg v + E\lg v)$$V(\lg v + V\lg v)$$V\lg v + V^2\lg v$$V^2$$E$$V\lg v + E\lg v = (V+E)\lg v$$V \ll E$$E\lg v$