Wie komplex ist das Leereproblem bei 2-Wege-DFAs?

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Ich frage mich, wie zeitlich komplex es ist, die Leere für 2-Wege-DFAs zu bestimmen. Das heißt, endliche Automaten, die sich auf ihrem schreibgeschützten Eingabeband rückwärts bewegen können.

Laut Wikipedia entsprechen sie DFAs, obwohl die äquivalenten DFA möglicherweise exponentiell größer sind. Ich habe staatliche Komplexität für ihre Komplemente und Schnittpunkte gefunden, aber nicht für ihre Leertests.

Kennt jemand ein Papier, in dem ich das finden könnte?

— jmite
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Ich empfehle Ihnen dringend, einen der beiden Beweise zu lesen, mit denen 2DFAs auf DFAs reduziert werden. Sie könnten Ihnen einen Einblick in das Problem geben.

— Yuval Filmus

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Freund Google schlägt Folgendes vor: " Die PSPACE-Vollständigkeit des Leereproblems für bidirektionale deterministische Finite-State-Automaten in Übung 5.5.4 geht auf Hunt (1973) zurück. " (Eine Einführung in die Berechnungstheorie, Eitan Gurari, Computer Science Press, 1989, online )

Hunt, H. (1973). "Zur Zeit- und Bandkomplexität von Sprachen", Proceedings of the 5th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 10-19.

( Ich habe mir jetzt die Referenz angesehen. ) Das Papier ist abstrakt geschrieben, wie Sie bemerken. Der entscheidende Teil für uns ist der Beweis von Thm 3.7, wo vorgeschlagen wird, dass man eine 2FSA konstruieren kann , die gültige Berechnungen eines linear begrenzten Automaten auf einer festen (!) Zeichenfolge akzeptiert (was nahe an der Definition von PSPACE liegt ). Die 2FSA ist in Polynomzeit (in der Größe von und ) konstruierbar . Eine Berechnung eines LBA kann als wobei alle die gleiche Länge haben wie $\cal A$ $\cal M$ $x$ $\cal A$ $\cal M$ $x$ $x\$x_1\$\dots\$x_n$ $x_i$ und aufeinanderfolgende Schritte von . Wieprüft , ob und gleich sind (bis zu einer sehr lokalen Änderung eines Zustands und eines einzelnen Symbols als Operation eines LBA)? Indem Sie Buchstabe für Buchstabe prüfen und auf dem Band in beide Richtungen gehen. Dafür brauchen wir einen Zähler der Größein der FiniteStateSteuer implementierter . $x$ $\cal M$ $\cal A$ $x_i$ $x_{i+1}$ $|x|$ $\cal A$

Es stellt sich heraus, dass das Problem im Anhang der klassischen Referenz von Garey & Johnson, Computer und Intraktabilität , Problem [AL2] "Zwei-Wege-Endlosautomat-Nicht-Leere" mit der expliziten Bemerkung "PSPACE-vollständig, auch wenn ist deterministisch ". Verweisen Sie erneut auf Hunt mit der Klarstellung "Transformation von linear gebundener Automatenakzeptanz" (Wenn LBA und Eingabe , akzeptiert ?). Das letztere Problem ist [AL3] in Bezug auf das berühmte Karp (1972) -Papier "Reduzierbarkeit unter kombinatorischen Problemen" (wobei die LBA-Akzeptanz als kontextsensitive Erkennung erwähnt wird). $\cal A$ $\cal A$ $x$ $\cal A$ $x$

— Hendrik Jan.
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Ich habe die Referenz überprüft. Ich bin mir ziemlich sicher, dass es aus Satz 3.8 folgt, obwohl es etwas kompliziert war. Es wird eher als Ergebnis eines Rice-Theorems für beliebige Prädikate / Eigenschaften formuliert als als einfache "Leere ist PSPACE vollständig".

— Jmite

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Die Nichtleere der Kreuzung für DFAs ist wie folgt:

Eingabe: Eine endliche Liste der DFAs , , ..., . $D_1$ $D_2$ $D_k$

Frage: Gibt es einen String existieren so dass für jedes , akzeptiert ? Mit anderen Worten, ist der Schnittpunkt der zugehörigen regulären Sprachen nicht leer? $w$ $i \in [k]$ $D_i$ $w$

Intersection Non-Emptiness ist ein klassisches PSPACE-vollständiges Problem (Kozen 1977 - "Untergrenzen für natürliche Beweissysteme")

Relevanz: Es gibt eine nette und einfache parametrisierte Reduktion von Kreuzungs-Nichtleere für Einweg-DFAs zu Nicht-Leere für Zweiweg-DFAs.

Wählen Sie die Anzahl der DFAs als Parameter für die Nichtleere der Kreuzung und die Anzahl der Umdrehungen (wechselt von links nach rechts oder von rechts nach links) als Parameter für die Nichtleere für Zweiwege-DFAs.

$k$ $(2k-2)$

$D_1$ $D_2$ $D_k$ $(2k-2)$

$D_1$ $D_2$ $D_3$ $D_k$

Wenn alle von ihnen akzeptieren, führt es die Bewertung für alle von ihnen durch und akzeptiert dann. Wenn einer von ihnen ablehnt, stoppt er (beendet nicht alle Bewertungen) und lehnt sofort ab.

$k$ $n^k$

Zugehöriger Link: /cstheory/29142/deciding-emptiness-of-intersection-of-regular-languages-in-subquadratic-time/29166#29166

$(2k-2)$ $n^k$

Schlussfolgerung: Wenn Sie einen schnelleren Algorithmus für die Nicht-Leere von Zwei-Wege-DFAs finden würden, würde dies zu einer effizienteren Simulation nicht deterministischer Maschinen führen. Lassen Sie mich wissen, wenn Sie irgendwelche Gedanken zu teilen haben. Vielen Dank für die Frage! :) :)

— Michael Wehar
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