Definieren Sie die Nerode-Äquivalenz über eine Sprache als iff für jedes . U ~ L v u w ∈ L ⇔ v w ∈ L w ∈ & Sigma; $L \subseteq \Sigma^{*}$$u \sim_L v$$uw \in L \Leftrightarrow vw \in L$$w \in \Sigma^{*}$

Die Nerode-Äquivalenz hat genau dann viele Äquivalenzklassen, wenn von einem Automaten mit endlichen Zuständen erkannt werden kann. Dies ist der Myhill-Nerode-Satz .${\sim}_L$$L$

Gibt es eine ähnliche Charakterisierung kontextfreier Sprachen?

Motivation:

Die Nerode-Äquivalenzklassen entsprechen jeweils einem bestimmten Zustand in jedem Automaten, der erkennt . Jede CFL kann von einer NPDA erkannt werden, die eine endliche Anzahl von Zuständen, aber auch einen potenziell unbegrenzten Stapel von Alphabetsymbolen aufweist. Der Stapel verfolgt eine Möglichkeit, wie eine Zeichenfolge analysiert werden kann. Die Anzahl der Äquivalenzklassen kann unendlich sein, da der Stapel eine unbegrenzte Anzahl von Symbolen speichern kann.$L$

Ich frage: Gibt es immer eine Möglichkeit, Äquivalenzklassen so zusammenzufassen, dass jeder Klumpen einen Zustand des PDA darstellt, wobei jede Klasse innerhalb des Klumpens äquivalente Zustände des Stapels für diesen PDA-Zustand darstellt?

Zum Beispiel muss die Sprache richtig verschachtelt Klammern nur Zustände Griff popund push, wie der Stapel Spur des aktuellen Schachtelungstiefe halten. Wenn eine solche Verklumpung immer möglich ist, bestimmt die Frage, ob die Anzahl der Verklumpungen endlich ist, ob die Sprache kontextfrei ist.

Wie von @sdcvvc in einem Kommentar hervorgehoben, wurde eine Form dieser Frage als /math/118362 gestellt, obwohl Yuval Filmus auf die verwandte Frage am Beispiel einer nicht kontextfreien Sprache antwortete, die dies dennoch tat KANN gepumpt werden? ist relevanter.

David S. Wise liefert in seiner Arbeit Ein starkes Pump-Lemma für kontextfreie Sprachen ein starkes Pump-Lemma, das gleichbedeutend mit kontextfrei ist. Er liefert auch eine zusätzliche äquivalente Bedingung (Eigenschaft 3 auf Seite 362), von der er behauptet, dass sie als Analogon zum Myhill-Nerode-Theorem angesehen werden könnte. Als Anwendung des letzteren zeigt er, dass nicht als endlicher Schnittpunkt kontextfreier Sprachen ausgedrückt werden kann.$\{ a^nba^{mn} : m,n > 0 \}$

Weitere Informationen zum starken Pump-Lemma finden Sie in einer meiner Antworten .

In der Arbeit von Berstel und Boasson gibt es eine sehr schöne Charakterisierung kontextfreier Sprachen (Wechler zugeschrieben), Hin zu einer algebraischen Theorie kontextfreier Sprachen . Lassen Sie mich einige Definitionen einführen, um dieses Ergebnis anzugeben (Satz 3.1 in der Arbeit).

Der Polynomabschluss einer Klasse von Sprachen von ist die Menge aller Sprachen, die endliche Vereinigungen von Produkten der Form , wobei und .$Pol(\mathcal{L})$$\mathcal{L}$$A^*$$L_0a_1L_1 \dotsm a_nL_n$$L_0, ..., L_n \in \mathcal{L}$$a_1, ..., a_n \in A$

Eine Algebra ist eine Klasse von Sprachen, die die Sprache und so dass . Es wird endlich generiert, wenn für eine endliche Menge von Sprachen. Es ist stabil, wenn für jedes und die Sprache auch zu . Beachten Sie, dass es ausreicht, für alle . { 1 } A = P o l ( A ) A = P o l ( F ) F L ∈ A u ∈ A ∗ u - 1 L = { v ∣ u v ∈ L } A a - 1 L ∈ A a ∈ $\mathcal{A}$$\{1\}$$\mathcal{A} = Pol(\mathcal{A})$$\mathcal{A} = Pol(\mathcal{F})$$\mathcal{F}$$L \in \mathcal{A}$$u \in A^*$$u^{-1}L = \{v \mid uv \in L\}$$\mathcal{A}$$a^{-1}L \in \mathcal{A}$$a \in A$

Satz . Eine Sprache von ist genau dann kontextfrei, wenn sie zu einer endlich erzeugten stabilen Algebra gehört.$A^*$

Im Artikel finden Sie Beispiele und viele nützliche Konsequenzen.